Question

方程 $8x^3 - 3x^2 - 3x - 1 = 0$ 的实根可写成 $\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + 1}{c}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为正整数。求 $a + b + c$ 。

The real root of the equation $8x^3 - 3x^2 - 3x - 1 = 0$ can be written in the form $\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + 1}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers. Find $a + b + c.$

答案

答案：98

知识点：多项式分母有理化代数变形

难度评级：2400

小提示：

把 $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ 移到一边：方程变为 $(x+1)^3 = 9x^3$ 。

Move $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ to one side: the equation becomes $(x+1)^3 = 9x^3$

大提示：

开立方得到 $x = \frac{1}{\sqrt[3]{9} - 1}$ ，再利用 $u^3 - 1 = (u - 1)(u^2 + u + 1)$ 有理化。

Take cube roots to get $x = \frac{1}{\sqrt[3]{9} - 1},$ then rationalize using $u^3 - 1 = (u - 1)(u^2 + u + 1)$

解答：

将方程改写为 $9x^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ $= (x + 1)^3$ 。取实立方根，得到 $\sqrt[3]{9}\,x = x + 1$ ，所以 $x = \frac{1}{\sqrt[3]{9} - 1}\text{。}$

分子分母同乘 $\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1$ ；分母变为 $(\sqrt[3]{9})^3 - 1 = 8$ ，所以 $x = \frac{\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1}{8}\text{。}$ 因此 $a + b + c = 81 + 9 + 8 = 98$ 。

Rewrite the equation as $9x^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ $= (x + 1)^3.$ Taking real cube roots, $\sqrt[3]{9}\,x = x + 1,$ so $x = \frac{1}{\sqrt[3]{9} - 1}.$

Multiply numerator and denominator by $\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1;$ the denominator becomes $(\sqrt[3]{9})^3 - 1 = 8,$ so $x = \frac{\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{9} + 1}{8}.$ Thus $a + b + c = 81 + 9 + 8 = 98.$

2013 AIME I 第 5 题

答案：98

难度评级：2400

小提示：

大提示：

解答：

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