Question

给定正整数 $n$ ，令 $p(n)$ 表示 $n$ 的所有非零数位之积。（若 $n$ 只有一位数，则 $p(n)$ 就等于该数位。）令 $\begin{aligned}S&=p(1)+p(2)+p(3)\\&\quad+\cdots+p(999)\end{aligned}\text{。}$ $S$ 的最大素因数是多少？

Given a positive integer $n,$ let $p(n)$ be the product of the nonzero digits of $n.$ (If $n$ has only one digit, then $p(n)$ is equal to that digit.) Let $\begin{aligned}S&=p(1)+p(2)+p(3)\\&\quad+\cdots+p(999).\end{aligned}$ What is the largest prime factor of $S?$

答案

答案：103

知识点：数字乘法原理质因数分解

难度评级：2110

小提示：

把从 $000$ 到 $999$ 的每个数都写成三位数，并让数位零贡献因子 $1$

Write every number from $000$ through $999$ using three digits and let a zero digit contribute a factor of $1$

大提示：

这个和可按数位分解；记得去掉 $000$ 的贡献

The sum factors by digit position; remember to remove the contribution of $000$

解答：

对一个数位而言，各个有效因子之和为 $1+1+2+\cdots+9=46$ ，其中第一个 $1$ 代表数位 $0$ 。因此，从 $000$ 到 $999$ 的总和为 $46^3$ 。去掉人为产生的贡献 $1$ （它来自 $000$ ），得到 $\begin{aligned}S&=46^3-1\\&=45(46^2+46+1)\\&=45\cdot2163\end{aligned}\text{。}$ 由于 $2163=3\cdot721=3\cdot7\cdot103$ ，最大素因数为 $103$ 。

For one digit position, the sum of its effective factors is $1+1+2+\cdots+9=46,$ where the first $1$ represents digit $0.$ Thus the sum over $000$ through $999$ is $46^3.$ Removing the artificial contribution $1$ from $000$ gives $\begin{aligned}S&=46^3-1\\&=45(46^2+46+1)\\&=45\cdot2163.\end{aligned}$ Since $2163=3\cdot721=3\cdot7\cdot103,$ the largest prime factor is $103.$

1994 AIME 第 5 题

答案：103

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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