Question

一个整数数列 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\ldots$ 满足：对每个 $n\geq3$ ，都有 $a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$ 。若该数列前 $1492$ 项的和为 $1985$ ，且前 $1985$ 项的和为 $1492$ ，求前 $2001$ 项的和。

A sequence of integers $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ is chosen so that $a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$ for each $n\geq3.$ What is the sum of the first $2001$ terms of this sequence if the sum of the first $1492$ terms is $1985,$ and the sum of the first $1985$ terms is $1492?$

答案

答案：986

知识点：递推找规律方程组

难度评级：2110

小提示：

用 $a_1$ 和 $a_2$ 表示前六项

Write the first six terms in terms of $a_1$ and $a_2$

大提示：

该数列每六项循环一次，而且每个六项组的和为 $0$

The sequence repeats every six terms, and each six-term block has sum $0$

解答：

令 $a_1=x$ ，且 $a_2=y$ 。前六项为 $x,\ y,\ y-x,\ -x,\ -y,\ x-y\text{，}$ 此后数列开始重复；这六项之和为 $0$ 。由于 $1492\equiv4\pmod6$ ，且 $1985\equiv5\pmod6$ ，已知条件给出 $\begin{aligned} 2y-x&=1985,\\ y-x&=1492 \end{aligned}\text{。}$ 因而 $y=493$ 。又因为 $2001\equiv3\pmod6$ ，所求和为 $x+y+(y-x)=2y=986$ 。

Put $a_1=x$ and $a_2=y.$ The first six terms are $x,\ y,\ y-x,\ -x,\ -y,\ x-y,$ after which the sequence repeats; these six terms sum to $0.$ Since $1492\equiv4\pmod6$ and $1985\equiv5\pmod6,$ the given equations are $\begin{aligned} 2y-x&=1985,\\ y-x&=1492. \end{aligned}$ Thus $y=493.$ Since $2001\equiv3\pmod6,$ the requested sum is $x+y+(y-x)=2y=986.$

1985 AIME 第 5 题

答案：986

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题