Question

若整数 $x$ 和 $y$ 满足 $y^2+3x^2y^2=30x^2+517$ ，求 $3x^2y^2$ 。

Find $3x^2y^2$ if $x$ and $y$ are integers such that $y^2+3x^2y^2=30x^2+517.$

答案

答案：588

知识点：因式分解丢番图方程整除性

难度评级：2070

小提示：

移项一个适当的 $3x^2+1$ 的倍数，以构造乘积

Move a suitable multiple of $3x^2+1$ to create a product

大提示：

分解 $507$ ，并利用 $3x^2+1\equiv1\pmod3$

Factor $507$ and use that $3x^2+1\equiv1\pmod3$

解答：

整理得 $(3x^2+1)(y^2-10)=507$ ，其中 $507=3\cdot13^2$ 。 $507$ 的正因数中，与 $1\pmod3$ 同余的有 $1$ 、 $13$ 、 $169$ 。若 $3x^2+1=1$ ，则 $x^2=0$ ，但 $y^2=517$ ，不是完全平方数。若 $3x^2+1=13$ ，则 $x^2=4$ 且 $y^2=49$ 。最后， $3x^2+1=169$ 给出 $x^2=56$ ，不是完全平方数。因此 $3x^2y^2=3\cdot4\cdot49=588$ 。

Rearranging gives $(3x^2+1)(y^2-10)=507,$ where $507=3\cdot13^2.$ The positive divisors of $507$ congruent to $1\pmod3$ are $1,$ $13,$ $169.$ If $3x^2+1=1,$ then $x^2=0$ but $y^2=517,$ which is not a square. If $3x^2+1=13,$ then $x^2=4$ and $y^2=49.$ Finally, $3x^2+1=169$ gives $x^2=56,$ not a square. Therefore $3x^2y^2=3\cdot4\cdot49=588.$

1987 AIME 第 5 题

答案：588

难度评级：2070

小提示：

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解答：

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