Question

设 $P_0(x)=x^3+313x^2-77x-8$ 。对整数 $n\geq1$ ，定义 $P_n(x)=P_{n-1}(x-n)$ 。求 $x$ 在 $P_{20}(x)$ 中的系数。

Let $P_0(x)=x^3+313x^2-77x-8.$ For integers $n\geq1,$ define $P_n(x)=P_{n-1}(x-n).$ What is the coefficient of $x$ in $P_{20}(x)?$

答案

答案：763

知识点：代数变形二项式定理多项式

难度评级：1910

小提示：

合并反复进行的平移，将 $P_{20}$ 直接用 $P_0$ 表示

Collapse the repeated shifts to write $P_{20}$ directly in terms of $P_0$

大提示：

代入 $x-210$ 后，只收集一次项

Only collect the linear terms after substituting $x-210$

解答：

累计平移量为 $1+2+\cdots+20=210$ ，所以 $P_{20}(x)=P_0(x-210)$ 。因此 $x$ 的系数为 $\begin{aligned}&3(210)^2-2(313)(210)-77\\&\quad=132300-131460-77\\&\quad=763\end{aligned}\text{。}$

The accumulated shift is $1+2+\cdots+20=210,$ so $P_{20}(x)=P_0(x-210).$ The coefficient of $x$ is therefore $\begin{aligned}&3(210)^2-2(313)(210)-77\\&\quad=132300-131460-77\\&\quad=763.\end{aligned}$

1993 AIME 第 5 题

答案：763

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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