1993 AIME Problem 5

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Let $P_0(x)=x^3+313x^2-77x-8.$ For integers $n\geq1,$ define $P_n(x)=P_{n-1}(x-n).$ What is the coefficient of $x$ in $P_{20}(x)?$

Answer

Answer: 763

Concepts:algebraic manipulation binomial theorem polynomial

Difficulty rating: 1910

Small Hint:

Collapse the repeated shifts to write $P_{20}$ directly in terms of $P_0$

Big Hint:

Only collect the linear terms after substituting $x-210$

Solution:

The accumulated shift is $1+2+\cdots+20=210,$ so $P_{20}(x)=P_0(x-210).$ The coefficient of $x$ is therefore $\begin{aligned}&3(210)^2-2(313)(210)-77\\&\quad=132300-131460-77\\&\quad=763.\end{aligned}$

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