2010 AIME II Problem 5

Below is the professionally curated solution for Problem 5 of the 2010 AIME II, from LIVE by Po-Shen Loh. You can also try the full timed exam, view all 2010 AIME II solutions, or check the answer key.

All of the real AMC 8, AMC 10, AMC 12, and AIME problems in our complete solution collection are used with official legal permission of the Mathematical Association of America (MAA).

Concepts:logarithm algebraic manipulation

Difficulty rating: 2170

Positive numbers $x,$ $y,$ and $z$ satisfy $xyz = 10^{81}$ and $(\log_{10} x)(\log_{10} yz) + (\log_{10} y)(\log_{10} z) = 468.$ Find $\sqrt{(\log_{10} x)^2 + (\log_{10} y)^2 + (\log_{10} z)^2}.$

Answer

Solution:

Let $a = \log_{10} x,$ $b = \log_{10} y,$ and $c = \log_{10} z.$ Taking logs of $xyz = 10^{81}$ gives $a + b + c = 81.$ Since $\log_{10} yz = b + c,$ the second condition is $a(b + c) + bc = ab + ac + bc = 468.$

Squaring the sum, $a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc) = 81^2 - 2 \cdot 468 = 6561 - 936 = 5625,$ so the requested value is $\sqrt{5625} = 75.$

← Problem 4 Full Exam Problem 6 →

Problem 5 in Other Years

1997 AIME · 1998 AIME · 1999 AIME · 2000 AIME I · 2000 AIME II · 2001 AIME I · 2001 AIME II · 2002 AIME I · 2002 AIME II · 2003 AIME I · 2003 AIME II · 2004 AIME I · 2004 AIME II · 2005 AIME I · 2005 AIME II · 2006 AIME I · 2006 AIME II · 2007 AIME I · 2007 AIME II · 2008 AIME I · 2008 AIME II · 2009 AIME I · 2009 AIME II · 2010 AIME I · 2011 AIME I · 2011 AIME II · 2012 AIME I · 2012 AIME II · 2013 AIME I · 2013 AIME II · 2014 AIME I · 2014 AIME II · 2015 AIME I · 2015 AIME II · 2016 AIME I · 2016 AIME II · 2017 AIME I · 2017 AIME II · 2018 AIME I · 2018 AIME II · 2019 AIME I · 2019 AIME II · 2020 AIME I · 2020 AIME II · 2021 AIME I · 2021 AIME II · 2022 AIME I · 2022 AIME II · 2023 AIME I · 2023 AIME II · 2024 AIME I · 2024 AIME II · 2025 AIME I · 2025 AIME II · 2026 AIME I · 2026 AIME II