1984 AIME Problem 5

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Determine the value of $ab$ if $\log_8a+\log_4b^2=5$ and $\log_8b+\log_4a^2=7.$

Answer

Answer: 512

Concepts:logarithm system of equations

Difficulty rating: 1960

Small Hint:

Express every logarithm using base $2$

Big Hint:

Set $A=\log_2a$ and $B=\log_2b$ to obtain a linear system

Solution:

Let $A=\log_2a$ and $B=\log_2b.$ The two equations become $\frac A3+B=5,\qquad \frac B3+A=7.$ Equivalently, $A+3B=15$ and $3A+B=21,$ which give $A=6$ and $B=3.$ Therefore $ab=2^{A+B}=2^9=512.$

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