Question

使 $n^3+100$ 能被 $n+10$ 整除的最大正整数 $n$ 是多少？

What is the largest positive integer $n$ for which $n^3+100$ is divisible by $n+10?$

答案

答案：890

知识点：整除性模运算多项式

难度评级：1840

小提示：

对 $n^3+100$ 模 $n+10$ 化简

Reduce $n^3+100$ modulo $n+10$

大提示：

该条件使 $n+10$ 成为某个固定整数的正因数

The condition makes $n+10$ a positive divisor of a fixed integer

解答：

模 $n+10$ ，有 $n\equiv-10$ 。因此 $\begin{gathered} n^3+100 \equiv(-10)^3+100\\ \equiv-900\pmod{n+10} \end{gathered}\text{。}$ 所以该条件等价于 $900$ 能被 $n+10$ 整除。由于 $n$ 为正整数， $n+10$ 是 $900$ 的正因数，其最大可能值为 $900$ 。因而 $n=900-10=890$ 。

Modulo $n+10,$ we have $n\equiv-10.$ Thus $\begin{gathered} n^3+100 \equiv(-10)^3+100\\ \equiv-900\pmod{n+10}. \end{gathered}$ The condition is therefore equivalent to $900$ being divisible by $n+10.$ Since $n$ is positive, $n+10$ is a positive divisor of $900,$ and its largest possible value is $900.$ This gives $n=900-10=890.$

1986 AIME 第 5 题

答案：890

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

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