Question

如图，五条线段将矩形 $ABCD$ 分成四个面积相等的部分，其中 $XY=YB+BC+CZ$ 、 $YB+BC+CZ=ZW$ 、 $ZW=WD+DA+AX$ ，且 $PQ\parallel AB$ 。若 $BC=19$ 厘米， $PQ=87$ 厘米，求 $AB$ 的长度（单位：厘米）。

Rectangle $ABCD$ is divided into four parts of equal area by five segments as shown, where $XY=YB+BC+CZ,$ $YB+BC+CZ=ZW,$ $ZW=WD+DA+AX,$ and $PQ\parallel AB.$ Find $AB$ (in cm) if $BC=19$ cm and $PQ=87$ cm.

答案

答案：193

知识点：矩形方程组梯形

难度评级：2270

小提示：

将相等的边界长度记为 $t$ ，矩形的宽记为 $L$

Call the common boundary length $t$ and the rectangle width $L$

大提示：

$PQ$ 上下两个区域面积相等，说明 $PQ$ 位于矩形高度的中点

Equal areas above and below $PQ$ place $PQ$ halfway up the rectangle

解答：

令 $AB=L$ ，并将四个相等的边界长度记为 $t$ 。再令 $AX=x$ 、 $DW=w$ ，左侧边界条件给出 $x+w=t-19$ 。将 $XY=ZW=t$ 代入右侧条件，得到 $2L+38=4t$ ，所以 $t=\frac{L+19}{2}$ 。

上、下两个中央区域都是以 $t$ 和 $87$ 为两底的梯形。因为它们面积相等，所以 $PQ$ 位于高为 $19$ 厘米的矩形的中间。每个中央区域的面积因此为 $\frac{19(t+87)}{4}$ 。这等于矩形面积的四分之一，即 $\frac{19L}{4}$ ，所以 $t+87=L$ 。联立 $t=\frac{L+19}{2}$ ，得 $L=193$ 。

Put $AB=L$ and let the four equal boundary lengths be $t.$ Writing $AX=x$ and $DW=w,$ the left boundary condition gives $x+w=t-19.$ Substituting $XY=ZW=t$ into the right condition gives $2L+38=4t,$ so $t=\frac{L+19}{2}.$

The upper and lower central regions are trapezoids with the same bases $t$ and $87.$ Since their areas are equal, $PQ$ lies halfway up the $19$ -cm rectangle. Each central region therefore has area $\frac{19(t+87)}{4}.$ This is one quarter of the rectangle, $\frac{19L}{4},$ so $t+87=L.$ Combining with $t=\frac{L+19}{2}$ yields $L=193.$

1987 AIME 第 6 题

答案：193

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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