Question

在坐标平面内，对 $k=-10$ 、 $-9$ 、 $-8$ 、 $\ldots$ 、 $9$ 、 $10$ ，画出方程 $\begin{aligned}y&=k,\\y&=\sqrt3x+2k,\\y&=-\sqrt3x+2k\end{aligned}$ 的图像。这 $63$ 条直线把平面的一部分分割成边长为 $\frac{2}{\sqrt3}$ 的等边三角形。共形成多少个这样的三角形？

The graphs of the equations $\begin{aligned}y&=k,\\y&=\sqrt3x+2k,\\y&=-\sqrt3x+2k,\end{aligned}$ are drawn in the coordinate plane for $k=-10,$ $-9,$ $-8,$ $\ldots,$ $9,$ $10.$ These $63$ lines cut part of the plane into equilateral triangles of side $\frac{2}{\sqrt3}.$ How many such triangles are formed?

答案

答案：660

知识点：等边三角形区域计数数对计数

难度评级：2350

小提示：

分别用 $i,j,k$ （它们取自 $[-10,10]$ ）标记三个直线族中的一条直线

Index one line from each family by $i,j,k$ in $[-10,10]$

大提示：

当且仅当 $i=j+k+1$ 或 $i=j+k-1$ 时，才会出现一个最小三角形区域

A smallest triangular cell occurs precisely when $i=j+k+1$ or $i=j+k-1$

解答：

一个单位三角形区域由指标 $i,j,k\in[-10,10]$ 决定，这些指标满足 $i=j+k\pm1$ 。对加号情形，有 $-11\leq j+k\leq9$ 。共有 $21-|s|$ 个有序数对 $(j,k)$ 的和为 $s$ ，因此这个朝向贡献 $\sum_{s=-11}^{9}(21-|s|)=330$ 个三角形。由对称性，另一个朝向也贡献 $330$ 个，所以总数为 $660$ 。

A unit triangular cell is determined by indices $i,j,k\in[-10,10]$ satisfying $i=j+k\pm1.$ For the plus sign, $-11\leq j+k\leq9.$ There are $21-|s|$ ordered pairs $(j,k)$ with sum $s,$ so this orientation contributes $\sum_{s=-11}^{9}(21-|s|)=330.$ By symmetry the other orientation also contributes $330,$ for a total of $660.$

1994 AIME 第 6 题

答案：660

难度评级：2350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题