Question

如图，四面体 $ABCD$ 满足 $AB=41$ 、 $AC=7$ 、 $AD=18$ 、 $BC=36$ 、 $BD=27$ 和 $CD=13$ 。设棱 $AB$ 与 $CD$ 的中点之间的距离为 $d$ 。求 $d^2$ 。

Let $ABCD$ be a tetrahedron with $AB=41,$ $AC=7,$ $AD=18,$ $BC=36,$ $BD=27,$ and $CD=13,$ as shown in the figure. Let $d$ be the distance between the midpoints of edges $AB$ and $CD.$ Find $d^2.$

答案

答案：137

知识点：立体几何中点向量

难度评级：2560

小提示：

用向量表示各顶点，并写出两个中点之间的向量

Represent the vertices by vectors and write the vector between the two midpoints

大提示：

用六条棱长展开 $\lVert A+B-C-D\rVert^2$

Expand $\lVert A+B-C-D\rVert^2$ in terms of the six edge lengths

解答：

顶点名称也表示相应的位置向量。两个中点之间的向量为 $\frac{A+B-C-D}{2}$ 。展开长度的平方，得到 $\begin{aligned}4d^2={}&AC^2+AD^2\\&+BC^2+BD^2\\&-AB^2-CD^2\end{aligned}\text{。}$ 因此 $\begin{aligned}4d^2={}&7^2+18^2+36^2+27^2\\&-41^2-13^2=548\end{aligned}\text{，}$ 所以 $d^2=137$ 。

Let the vertex names also denote their position vectors. The vector between the midpoints is $\frac{A+B-C-D}{2}.$ Expanding squared lengths gives $\begin{aligned}4d^2={}&AC^2+AD^2\\&+BC^2+BD^2\\&-AB^2-CD^2.\end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned}4d^2={}&7^2+18^2+36^2+27^2\\&-41^2-13^2=548,\end{aligned}$ so $d^2=137.$

1989 AIME 第 12 题

答案：137

难度评级：2560

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题