Question

令 $f(n)$ 为与 $\sqrt[4]{n}$ 最接近的整数。求 $\sum_{k=1}^{1995}\frac1{f(k)}\text{。}$

Let $f(n)$ be the integer closest to $\sqrt[4]{n}.$ Find $\sum_{k=1}^{1995}\frac1{f(k)}.$

答案

答案：400

知识点：根式区间内整数计数前n项平方和

难度评级：1940

小提示：

计算整数 $n$ 满足 $j-\tfrac12<\sqrt[4]n<j+\tfrac12$ 的情形数

Count the integers $n$ for which $j-\tfrac12<\sqrt[4]n<j+\tfrac12$

大提示：

使 $f(n)=j$ 成立的整数数量可化简为 $4j^3+j$

The number of occurrences of $f(n)=j$ simplifies to $4j^3+j$

解答：

对 $j\geq1$ ，正整数 $n$ 中满足 $f(n)=j$ 的数量为 $\begin{aligned}\left(j+\frac12\right)^4&-\left(j-\frac12\right)^4\\&=4j^3+j\end{aligned}\text{。}$ 对 $j=1,\ldots,6$ ，这些数共占 $\sum_{j=1}^6(4j^3+j)=1785$ 个值，它们对所求和的贡献为 $\begin{aligned}\sum_{j=1}^6\frac{4j^3+j}{j}&=4\sum_{j=1}^6j^2+6\\&=370\end{aligned}\text{。}$ 剩余的 $1995-1785=210$ 个值满足 $f(n)=7$ ，贡献为 $30$ 。总和为 $400$ 。

For $j\geq1,$ the number of positive integers $n$ for which $f(n)=j$ is $\begin{aligned}\left(j+\frac12\right)^4&-\left(j-\frac12\right)^4\\&=4j^3+j.\end{aligned}$ For $j=1,\ldots,6,$ these account for $\sum_{j=1}^6(4j^3+j)=1785$ values, and their contribution to the requested sum is $\begin{aligned}\sum_{j=1}^6\frac{4j^3+j}{j}&=4\sum_{j=1}^6j^2+6\\&=370.\end{aligned}$ The remaining $1995-1785=210$ values have $f(n)=7,$ contributing $30.$ The total is $400.$

1995 AIME 第 13 题

答案：400

难度评级：1940

小提示：

大提示：

解答：

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