Question

在一串抛硬币结果中，可以记录反面之后紧接正面、正面之后紧接正面等相邻情形，并分别记为 $\mathrm{TH}$ 、 $\mathrm{HH}$ 等。例如，在 $15$ 次抛硬币所得的序列 $\mathrm{HHTTHHHHTHHTTTT}$ 中，有两个 $\mathrm{HH}$ 、三个 $\mathrm{HT}$ 、四个 $\mathrm{TH}$ 和五个 $\mathrm{TT}$ 子序列。有多少个不同的 $15$ 次抛硬币序列恰好包含两个 $\mathrm{HH}$ 、三个 $\mathrm{HT}$ 、四个 $\mathrm{TH}$ 和五个 $\mathrm{TT}$ 子序列？

In a sequence of coin tosses, one can keep a record of instances in which a tail is immediately followed by a head, a head is immediately followed by a head, and so on. We denote these by $\mathrm{TH},$ $\mathrm{HH},$ and so on. For example, in the sequence $\mathrm{HHTTHHHHTHHTTTT}$ of $15$ coin tosses, there are two $\mathrm{HH},$ three $\mathrm{HT},$ four $\mathrm{TH},$ and five $\mathrm{TT}$ subsequences. How many different sequences of $15$ coin tosses contain exactly two $\mathrm{HH},$ three $\mathrm{HT},$ four $\mathrm{TH},$ and five $\mathrm{TT}$ subsequences?

答案

答案：560

知识点：有限制的排列乘法原理隔板法

难度评级：2350

小提示：

比较 $\mathrm{HT}$ 与 $\mathrm{TH}$ 转换的次数，以确定第一次和最后一次抛掷的结果

Compare the numbers of $\mathrm{HT}$ and $\mathrm{TH}$ transitions to determine the first and last tosses

大提示：

将 $\mathrm{HH}$ 与 $\mathrm{TT}$ 的次数转化为交替连续段的总长度分配

Translate the $\mathrm{HH}$ and $\mathrm{TT}$ counts into totals distributed among alternating runs

解答：

由于有四次 $\mathrm{TH}$ 转换和三次 $\mathrm{HT}$ 转换，每个有效序列都以 $\mathrm{T}$ 开始、以 $\mathrm{H}$ 结束。因此它有四个 $\mathrm{T}$ 连续段和四个 $\mathrm{H}$ 连续段，并且两类连续段交替出现。

若所有 $\mathrm{H}$ 连续段的总长度为 $h$ ，则 $\mathrm{HH}$ 转换的次数为 $h-4$ 。因而 $h=6$ ，四个 $\mathrm{H}$ 连续段的正整数长度有 $\binom{6-1}{4-1}=\binom53=10$ 种选法。同理，五次 $\mathrm{TT}$ 转换意味着四个 $\mathrm{T}$ 连续段的总长度为 $9$ ，因而有 $\binom{9-1}{4-1}=\binom83=56$ 种选法。交替顺序已经固定，所以序列总数为 $10\cdot56=560$ 。

Since there are four $\mathrm{TH}$ transitions and three $\mathrm{HT}$ transitions, every valid sequence starts with $\mathrm{T}$ and ends with $\mathrm{H}.$ It therefore has four $\mathrm{T}$ -runs and four $\mathrm{H}$ -runs, alternating.

If the $\mathrm{H}$ -runs have total length $h,$ then the number of $\mathrm{HH}$ transitions is $h-4.$ Thus $h=6,$ and the positive lengths of the four $\mathrm{H}$ -runs can be chosen in $\binom{6-1}{4-1}=\binom53=10$ ways. Similarly, five $\mathrm{TT}$ transitions mean that the four $\mathrm{T}$ -runs have total length $9,$ giving $\binom{9-1}{4-1}=\binom83=56$ choices. The alternating order is fixed, so the number of sequences is $10\cdot56=560.$

1986 AIME 第 13 题

答案：560

难度评级：2350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题