Question

令 $S$ 为笛卡尔平面中满足 $\begin{aligned} &\Bigl|\bigl||x| - 2\bigr| - 1\Bigr| \\ &\quad {}+ \Bigl|\bigl||y| - 2\bigr| - 1\Bigr| = 1 \end{aligned}$ 的点集。如果用可忽略粗细的铁丝做出 $S$ 的模型，则所需铁丝总长度为 $a\sqrt{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是正整数，且 $b$ 不被任何素数的平方整除。求 $a + b$ 。

Let $S$ be the set of points in the Cartesian plane that satisfy $\begin{aligned} &\Bigl|\bigl||x| - 2\bigr| - 1\Bigr| \\ &\quad {}+ \Bigl|\bigl||y| - 2\bigr| - 1\Bigr| = 1. \end{aligned}$ If a model of $S$ were built from wire of negligible thickness, then the total length of wire required would be $a\sqrt{b},$ where $a$ and $b$ are positive integers and $b$ is not divisible by the square of any prime number. Find $a + b.$

答案

答案：66

知识点：绝对值坐标几何周长

难度评级：2920

小提示：

当 $0 \le x \le 2$ 时，表达式 $\bigl||x| - 2\bigr| - 1$ 等于 $1 - x$ ，当 $2 \le x \le 4$ 时，它等于 $x - 3$

For $0 \le x \le 2$ the expression $\bigl||x| - 2\bigr| - 1$ equals $1 - x,$ and for $2 \le x \le 4$ it equals $x - 3$

大提示：

图形是若干菱形 $|x - a| + |y - b| = 1$ 的并；数出可能的中心，再乘以一个菱形的周长

The graph is a union of diamonds $|x - a| + |y - b| = 1;$ count the possible centers and multiply by one diamond’s perimeter

解答：

令 $f(t) = \bigl|\,||t| - 2| - 1\,\bigr|$ ，则方程为 $f(x) + f(y) = 1$ 。函数 $f$ 是偶函数。当 $t \ge 0$ 时：在 $[0, 2]$ 上， $||t| - 2| - 1 = (2 - t) - 1$ $= 1 - t$ ，所以 $f(t) = |t - 1|$ ；在 $[2, 4]$ 上， $f(t) = |t - 3|$ ；当 $t \gt 4$ 时， $f(t) = t - 3 \gt 1$ ，已经太大。因此在相关范围内， $f(t) = |t - a|$ ，其中 $a \in \{-3, -1, 1, 3\}$ 是这四个值中最接近 $t$ 的一个。

因此 $S$ 是以下 $16$ 个曼哈顿圆的并： $\begin{aligned} &|x - a| + |y - b| = 1, \\ &\qquad a, b \in \{-3, -1, 1, 3\} \end{aligned}\text{。}$ 它们只在孤立点相交。每个都是对角线长为 $2$ 的正方形（菱形），所以边长为 $\sqrt{2}$ ，周长为 $4\sqrt{2}$ 。

总长度为 $16 \cdot 4\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$ ，所以 $a + b = 64 + 2 = 66$ 。

Let $f(t) = \bigl|\,||t| - 2| - 1\,\bigr|,$ so the equation is $f(x) + f(y) = 1.$ The function $f$ is even, and for $t \ge 0:$ on $[0, 2],$ $||t| - 2| - 1 = (2 - t) - 1$ $= 1 - t,$ so $f(t) = |t - 1|;$ on $[2, 4],$ $f(t) = |t - 3|;$ and for $t \gt 4,$ $f(t) = t - 3 \gt 1,$ which is too large. So on the relevant range, $f(t) = |t - a|$ where $a \in \{-3, -1, 1, 3\}$ is the nearest of those four values to $t.$

Therefore $S$ is the union of the $16$ taxicab circles $\begin{aligned} &|x - a| + |y - b| = 1, \\ &\qquad a, b \in \{-3, -1, 1, 3\}, \end{aligned}$ which meet only at isolated points. Each is a square (diamond) with diagonal $2,$ hence side $\sqrt{2}$ and perimeter $4\sqrt{2}.$

The total length is $16 \cdot 4\sqrt{2} = 64\sqrt{2},$ so $a + b = 64 + 2 = 66.$

1997 AIME 第 13 题

答案：66

难度评级：2920

小提示：

大提示：

解答：

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