Question

在三角形 $ABC$ 中，点 $D$ 在 $\overline{BC}$ 上，且 $CD = 2$ 、 $DB = 5$ ；点 $E$ 在 $\overline{AC}$ 上，且 $CE = 1$ 、 $EA = 3$ ；并且 $AB = 8$ 。线段 $\overline{AD}$ 与 $\overline{BE}$ 交于 $P$ 。点 $Q$ 和 $R$ 在 $\overline{AB}$ 上，使得 $\overline{PQ}$ 平行于 $\overline{CA}$ ，且 $\overline{PR}$ 平行于 $\overline{CB}$ 。已知三角形 $PQR$ 与三角形 $ABC$ 的面积之比为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

In triangle $ABC,$ point $D$ is on $\overline{BC}$ with $CD = 2$ and $DB = 5,$ point $E$ is on $\overline{AC}$ with $CE = 1$ and $EA = 3,$ $AB = 8,$ and $\overline{AD}$ and $\overline{BE}$ intersect at $P.$ Points $Q$ and $R$ lie on $\overline{AB}$ so that $\overline{PQ}$ is parallel to $\overline{CA}$ and $\overline{PR}$ is parallel to $\overline{CB}.$ It is given that the ratio of the area of triangle $PQR$ to the area of triangle $ABC$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：901

知识点：质点法位似面积比

难度评级：2990

小提示：

用质量点法：赋质量 $5$ 、 $6$ 、 $15$ 于 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，即可同时平衡两条顶点连线并确定 $P$ ；延长 $\overline{CP}$ 与 $\overline{AB}$ 交于 $F$ 。

Mass points: masses $5,$ $6,$ $15$ at $A,$ $B,$ $C$ balance both cevians and locate $P;$ extend $\overline{CP}$ to meet $\overline{AB}$ at $F$

大提示：

三角形 $PQR$ 是三角形 $CAB$ 在一个位似变换下的像；该变换以 $F$ 为中心，把 $C$ 映到 $P$ ，所以面积比为 $(\frac{FP}{FC})^2$ 。

Triangle $PQR$ is the image of triangle $CAB$ under the homothety centered at $F$ taking $C$ to $P,$ so the area ratio is $(\frac{FP}{FC})^2$

解答：

赋质量 $5$ 于 $A$ ，质量 $6$ 于 $B$ ，质量 $15$ 于 $C$ 。这样 $E$ 在 $\overline{AC}$ 上满足平衡关系（ $5 \cdot 3 = 15 \cdot 1$ ），而 $D$ 在 $\overline{BC}$ 上满足平衡关系（ $6 \cdot 5 = 15 \cdot 2$ ），所以 $\overline{AD}$ 和 $\overline{BE}$ 交于质心 $P$ ，其总质量为 $26$ 。延长 $\overline{CP}$ 与 $\overline{AB}$ 交于 $F$ ，则 $F$ 处质量为 $5 + 6 = 11$ 。因此在线段 $CF$ 上有 $CP : PF = 11 : 15$ ，也就是 $\frac{FP}{FC} = \frac{15}{26}$ 。

以 $F$ 为中心、比例为 $\frac{15}{26}$ 的位似变换把 $C$ 映到 $P$ ，并把直线 $AB$ 映到自身；它把直线 $CA$ 映到过 $P$ 的平行线，也就是 $PQ$ ，把直线 $CB$ 映到 $PR$ 。因此它把三角形 $CAB$ 映到三角形 $PQR$ ，所以 $\frac{[PQR]}{[ABC]} = \left(\frac{15}{26}\right)^2 = \frac{225}{676}\text{。}$

因为 $\gcd(225, 676) = 1$ ，答案为 $m + n = 225 + 676 = 901$ 。

Assign masses $5$ at $A,$ $6$ at $B,$ and $15$ at $C.$ Then $E$ balances $\overline{AC}$ ( $5 \cdot 3 = 15 \cdot 1$ ) and $D$ balances $\overline{BC}$ ( $6 \cdot 5 = 15 \cdot 2$ ), so the cevians $\overline{AD}$ and $\overline{BE}$ meet at the center of mass $P,$ of total mass $26.$ Extending $\overline{CP}$ to meet $\overline{AB}$ at $F,$ the mass at $F$ is $5 + 6 = 11,$ so on segment $CF$ we get $CP : PF = 11 : 15,$ that is, $\frac{FP}{FC} = \frac{15}{26}.$

The homothety centered at $F$ with ratio $\frac{15}{26}$ sends $C$ to $P$ and maps line $AB$ to itself; it carries line $CA$ to the parallel line through $P$ — which is line $PQ$ — and line $CB$ to line $PR.$ Hence it maps triangle $CAB$ onto triangle $PQR,$ and $\frac{[PQR]}{[ABC]} = \left(\frac{15}{26}\right)^2 = \frac{225}{676}.$

Since $\gcd(225, 676) = 1,$ the answer is $m + n = 225 + 676 = 901.$

2002 AIME II 第 13 题

答案：901

难度评级：2990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题