Question

若

\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\}

是一个实数集合，并按

a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt \cdots \lt a_n

编号，则它的复幂和定义为

a_1 i + a_2 i^2 + a_3 i^3 + \cdots + a_n i^n

，其中

i^2 = -1

。令

S_n

为

\{1, 2, \ldots, n\}

的所有非空子集的复幂和之和。已知

S_8 = -176 - 64i

，且

S_9 = p + qi

，其中

p

和

q

是整数。求

|p| + |q|

。

If

\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\}

is a set of real numbers, indexed so that

a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt \cdots \lt a_n,

its complex power sum is defined to be

a_1 i + a_2 i^2 + a_3 i^3 + \cdots + a_n i^n,

where

i^2 = -1.

Let

S_n

be the sum of the complex power sums of all nonempty subsets of

\{1, 2, \ldots, n\}.

Given that

S_8 = -176 - 64i

and

S_9 = p + qi,

where

p

and

q

are integers, find

|p| + |q|.

答案

答案：368

知识点：复数递推二项式定理

难度评级：2920

小提示：

将

\{1, \ldots, 9\}

的子集按是否包含

9

来划分；不含

9

的子集贡献

S_8

Split the subsets of

\{1, \ldots, 9\}

by whether they contain

9;

those without

9

contribute

S_8

大提示：

在

T \cup \{9\}

中，元素

9

总是最大元素，并贡献

9i^{|T|+1}

；对所有

T \subseteq \{1, \ldots, 8\}

求和得到

9i(1+i)^8

In

T \cup \{9\},

the element

9

is always largest and adds

9i^{|T|+1};

summing over all

T \subseteq \{1, \ldots, 8\}

gives

9i(1+i)^8

解答：

将

\{1, \ldots, 9\}

的非空子集按是否包含

9

来划分。不含

9

的子集贡献

S_8

。包含

9

的子集可写成

T \cup \{9\}

，其中

T \subseteq \{1, \ldots, 8\}

可以为空；因为

9

是其中最大的元素，它的复幂和等于

T

的复幂和再加上

9i^{|T| + 1}

。对所有

T

求和，又得到一个

S_8

外加

\sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k}\, 9\, i^{k+1} = 9i\,(1 + i)^8\text{。}

因为

(1 + i)^2 = 2i

，所以

(1 + i)^8 = (2i)^4 = 16

，于是

\begin{aligned} S_9 &= 2S_8 + 144i \\ &= 2(-176 - 64i) + 144i \\ &= -352 + 16i \end{aligned}\text{。}

因此

|p| + |q| = 352 + 16 = 368

。

Split the nonempty subsets of

\{1, \ldots, 9\}

by whether they contain

9.

Those without

9

contribute

S_8.

A subset containing

9

is

T \cup \{9\}

for a (possibly empty)

T \subseteq \{1, \ldots, 8\},

and since

9

is its largest element, its complex power sum is the complex power sum of

T

plus

9i^{|T| + 1}.

Summing over all

T

gives another

S_8

plus

\sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k}\, 9\, i^{k+1} = 9i\,(1 + i)^8.

Since

(1 + i)^2 = 2i,

we get

(1 + i)^8 = (2i)^4 = 16,

so

\begin{aligned} S_9 &= 2S_8 + 144i \\ &= 2(-176 - 64i) + 144i \\ &= -352 + 16i. \end{aligned}

Therefore

|p| + |q| = 352 + 16 = 368.

1998 AIME 第 13 题

答案：368

难度评级：2920

小提示：

大提示：

解答：

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