Question

不能表示为两个奇合数之和的最大偶数是多少？

What is the largest even integer that cannot be written as the sum of two odd composite numbers?

答案

答案：38

知识点：质数模运算极端原理

难度评级：2650

小提示：

对每个候选偶数，列出不大于其一半的奇合数

Test candidate even integers by listing the odd composites no greater than half the candidate

大提示：

对于足够大的偶数 $N$ ，按模 $6$ 分类，并尝试减去 $9$ 、 $25$ 或 $35$

For sufficiently large even $N,$ work modulo $6$ and try subtracting $9,$ $25,$ or $35$

解答：

若将 $38$ 表示成两个奇合数之和，其中较小的奇合数至多为 $19$ 。可能的数只有 $9$ 和 $15$ ，其补数分别为素数 $29$ 和 $23$ 。因此 $38$ 无法按要求表示。

现设 $N>38$ 为偶数。若 $N\equiv0\pmod6$ ，写成 $N=9+(N-9)$ 。若 $N\equiv2\pmod6$ ，写成 $N=35+(N-35)$ 。若 $N\equiv4\pmod6$ ，写成 $N=25+(N-25)$ 。每种情形下，第二个加数都是大于 $3$ 的奇数且为 $3$ 的倍数，因而是合数；固定的第一个加数也都是奇合数。所以每个大于 $38$ 的偶数都可按要求表示，故最大例外是 $38$ 。

In a representation of $38,$ the smaller odd composite would be at most $19.$ The only possibilities are $9$ and $15,$ whose complements $29$ and $23$ are prime. Thus $38$ is not representable.

Now let $N>38$ be even. If $N\equiv0\pmod6,$ write $N=9+(N-9).$ If $N\equiv2\pmod6,$ write $N=35+(N-35).$ If $N\equiv4\pmod6,$ write $N=25+(N-25).$ In each case the second summand is an odd multiple of $3$ greater than $3,$ hence is composite; the fixed first summand is also odd and composite. Therefore every even integer greater than $38$ is representable, so the largest exception is $38.$

1984 AIME 第 14 题

答案：38

难度评级：2650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题