Question

计算 $\frac{\begin{gathered}(10^4+324)(22^4+324)\\{}\cdot(34^4+324)(46^4+324)\\{}\cdot(58^4+324)\end{gathered}}{\begin{gathered}(4^4+324)(16^4+324)\\{}\cdot(28^4+324)(40^4+324)\\{}\cdot(52^4+324)\end{gathered}}\text{。}$

Compute $\frac{\begin{gathered}(10^4+324)(22^4+324)\\{}\cdot(34^4+324)(46^4+324)\\{}\cdot(58^4+324)\end{gathered}}{\begin{gathered}(4^4+324)(16^4+324)\\{}\cdot(28^4+324)(40^4+324)\\{}\cdot(52^4+324)\end{gathered}}.$

答案

答案：373

知识点：代数变形因式分解裂项相消

难度评级：2380

小提示：

利用 $324=4\cdot3^4$ 和索菲·热尔曼恒等式

Use Sophie Germain’s identity with $324=4\cdot3^4$

大提示：

若 $g(x)=x^2+6x+18$ ，将 $x^4+324$ 改写为 $g(x-6)g(x)$

If $g(x)=x^2+6x+18,$ rewrite $x^4+324$ as $g(x-6)g(x)$

解答：

令 $g(x)=x^2+6x+18$ 。由索菲·热尔曼恒等式， $x^4+324=g(x-6)g(x)$ 。因此分子提供 $g(4),g(10),\ldots,g(58)$ ，而分母提供 $g(-2),g(4),\ldots,g(52)$ 。除了下式外，其余各项全部约去： $\begin{aligned}\frac{g(58)}{g(-2)}&=\frac{58^2+6(58)+18}{4-12+18}\\&=\frac{3730}{10}=373\end{aligned}\text{。}$

Let $g(x)=x^2+6x+18.$ Sophie Germain’s identity gives $x^4+324=g(x-6)g(x).$ The numerator therefore supplies $g(4),g(10),\ldots,g(58),$ while the denominator supplies $g(-2),g(4),\ldots,g(52).$ Everything cancels except $\begin{aligned}\frac{g(58)}{g(-2)}&=\frac{58^2+6(58)+18}{4-12+18}\\&=\frac{3730}{10}=373.\end{aligned}$

1987 AIME 第 14 题

答案：373

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题