Question

一束光射到 $\overline{BC}$ 上的 $C$ 点，入射角为 $\alpha=19.94^\circ$ ，并如图所示以相等的反射角反射。此后，光束继续传播，并在线段 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 上按照“入射角等于反射角”的规则反射。已知 $\beta=\frac{\alpha}{10}=1.994^\circ$ ，且 $AB=BC$ ，求光束在这两条线段上反射的次数。计数时包括在 $C$ 点的第一次反射。

A beam of light strikes $\overline{BC}$ at point $C$ with angle of incidence $\alpha=19.94^\circ$ and reflects with an equal angle of reflection as shown. The light beam continues its path, reflecting off line segments $\overline{AB}$ and $\overline{BC}$ according to the rule: angle of incidence equals angle of reflection. Given that $\beta=\frac{\alpha}{10}=1.994^\circ$ and $AB=BC,$ determine the number of times the light beam will bounce off the two line segments. Include the first reflection at $C$ in your count.

答案

答案：71

知识点：反射（几何）导角取整函数

难度评级：2790

小提示：

每次反射时，不反射光束，而是反射两线段所成角的下一份副本，从而展开路径

Unfold each reflection by reflecting the next copy of the two-segment angle instead of reflecting the beam

大提示：

在第一次反射之后再发生 $k$ 次反射时，相应的边界射线已经转过 $k\beta$

After $k$ reflections beyond the first one, the relevant boundary ray has turned through $k\beta$

解答：

在每次反射处展开路径后，光束成为一条直线，依次穿过顶点为 $B$ 的角的各个反射副本。在初次反射之后再发生 $k$ 次反射时（初次反射位于 $C$ 点），下一条边界射线与原射线的夹角为 $k\beta$ 。利用 $AB=BC$ ，交点恰好在满足 $k\beta\leq180^\circ-2\alpha$ 时仍位于有限线段上。因此 $k\leq\frac{180-2(19.94)}{1.994}\approx70.27\text{，}$ 所以此后还会反射 $70$ 次。加上在 $C$ 点的第一次反射，共有 $71$ 次。

Unfold the path at each bounce, so the beam becomes one straight line crossing successive reflected copies of the angle at $B.$ After $k$ reflections beyond the initial reflection at $C,$ the next boundary ray makes angle $k\beta$ with the original one. Using $AB=BC,$ the crossing remains on the finite segments exactly while $k\beta\leq180^\circ-2\alpha.$ Therefore $k\leq\frac{180-2(19.94)}{1.994}\approx70.27,$ so there are $70$ further reflections. Including the first reflection at $C$ gives $71.$

1994 AIME 第 14 题

答案：71

难度评级：2790

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题