Question

有 $2n$ 个复数同时满足 $z^{28} - z^{8} - 1 = 0$ 和 $|z| = 1$ 。这些数形如 $z_{m} = \cos\theta_{m} + i\sin\theta_{m}$ ，其中 $0 \le \theta_{1} \lt \theta_{2} \lt \ldots \lt \theta_{2n} \lt 360$ ，且角以度为单位。求 $\theta_{2} + \theta_{4} + \cdots + \theta_{2n}$ 的值。

There are $2n$ complex numbers that satisfy both $z^{28} - z^{8} - 1 = 0$ and $|z| = 1.$ These numbers have the form $z_{m} = \cos\theta_{m} + i\sin\theta_{m},$ where $0 \le \theta_{1} \lt \theta_{2} \lt \ldots \lt \theta_{2n} \lt 360$ and angles are measured in degrees. Find the value of $\theta_{2} + \theta_{4} + \cdots + \theta_{2n}.$

答案

答案：840

知识点：复数棣莫弗定理模运算

难度评级：3060

小提示：

将方程改写为 $z^8(z^{20} - 1) = 1$ ，并取绝对值： $|z^{20} - 1| = 1$ 。

Rewrite the equation as $z^8(z^{20} - 1) = 1$ and take absolute values: $|z^{20} - 1| = 1$

大提示：

$z^{20}$ 到 $1$ 和 $0$ 的距离都为 $1$ ，所以 $z^{20} = \cos 60^\circ \pm i\sin 60^\circ$ ；再推出 $z^4$ ，从而推出 $\theta$ 模 $90$ 。

$z^{20}$ is at distance $1$ from both $0$ and $1,$ so $z^{20} = \cos 60^\circ \pm i\sin 60^\circ;$ deduce $z^4$ and hence $\theta$ mod $90$

解答：

记 $\operatorname{cis}\theta = \cos\theta + i\sin\theta$ 。原方程为 $z^8(z^{20} - 1) = 1$ 。取绝对值并使用 $|z| = 1$ ，得 $|z^{20} - 1| = 1$ ，所以 $z^{20}$ 到 $1$ 和 $0$ 的距离都为 $1$ ：它等于 $\operatorname{cis}(\pm 60^\circ)$ 。

若 $z^{20} = \operatorname{cis} 60^\circ$ ，则 $z^{20} - 1 = \operatorname{cis} 120^\circ$ ，所以 $z^8 = \operatorname{cis}(-120^\circ)$ ，并且 $\begin{aligned} z^4 &= \frac{z^{20}}{(z^8)^2} \\ &= \operatorname{cis}(60^\circ + 240^\circ) = \operatorname{cis} 300^\circ \end{aligned}\text{，}$ 因此 $4\theta \equiv 300^\circ$ ，即 $\theta \equiv 75^\circ \pmod{90^\circ}$ 。反过来，每个这样的 $\theta$ 都满足条件，因为此时 $z^{20} = (z^4)^5 = \operatorname{cis} 60^\circ$ ，且 $z^8 = (z^4)^2 = \operatorname{cis}(-120^\circ)$ 。类似地， $z^{20} = \operatorname{cis}(-60^\circ)$ 的情形恰好给出 $\theta \equiv 15^\circ \pmod{90^\circ}$ 。

因此 $2n = 8$ 个角按从小到大排列为 $15, 75, 105, 165,$ $195, 255, 285, 345$ ，并且 $\theta_2 + \theta_4 + \theta_6 + \theta_8$ $= 75 + 165 + 255 + 345$ $= 840$ 。

Write $\operatorname{cis}\theta = \cos\theta + i\sin\theta.$ The equation says $z^8(z^{20} - 1) = 1.$ Taking absolute values and using $|z| = 1$ gives $|z^{20} - 1| = 1,$ so $z^{20}$ is at distance $1$ from both $0$ and $1:$ it is $\operatorname{cis}(\pm 60^\circ).$

If $z^{20} = \operatorname{cis} 60^\circ,$ then $z^{20} - 1 = \operatorname{cis} 120^\circ,$ so $z^8 = \operatorname{cis}(-120^\circ)$ and $\begin{aligned} z^4 &= \frac{z^{20}}{(z^8)^2} \\ &= \operatorname{cis}(60^\circ + 240^\circ) = \operatorname{cis} 300^\circ, \end{aligned}$ which means $4\theta \equiv 300^\circ,$ i.e. $\theta \equiv 75^\circ \pmod{90^\circ}.$ Conversely every such $\theta$ works, since then $z^{20} = (z^4)^5 = \operatorname{cis} 60^\circ$ and $z^8 = (z^4)^2 = \operatorname{cis}(-120^\circ).$ The case $z^{20} = \operatorname{cis}(-60^\circ)$ similarly gives exactly $\theta \equiv 15^\circ \pmod{90^\circ}.$

So the $2n = 8$ angles in increasing order are $15, 75, 105, 165,$ $195, 255, 285, 345,$ and $\theta_2 + \theta_4 + \theta_6 + \theta_8$ $= 75 + 165 + 255 + 345$ $= 840.$

2001 AIME II 第 14 题

答案：840

难度评级：3060

小提示：

大提示：

解答：

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