Question

设 $a$ 和 $b$ 为正实数，且 $a \ge b$ 。令 $\rho$ 为 $\frac{a}{b}$ 的最大可能值，使得方程组 $\begin{aligned} a^2 + y^2 &= b^2 + x^2 \\ &= (a - x)^2 + (b - y)^2 \end{aligned}$ 存在解 $(x, y)$ ，且满足 $0 \le x \lt a$ 、 $0 \le y \lt b$ 。则 $\rho^2$ 可表示为分数 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

Let $a$ and $b$ be positive real numbers with $a \ge b.$ Let $\rho$ be the maximum possible value of $\frac{a}{b}$ for which the system of equations $\begin{aligned} a^2 + y^2 &= b^2 + x^2 \\ &= (a - x)^2 + (b - y)^2 \end{aligned}$ has a solution $(x, y)$ satisfying $0 \le x \lt a$ and $0 \le y \lt b.$ Then $\rho^2$ can be expressed as a fraction $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：7

知识点：等边三角形距离公式三角学最优化

难度评级：3270

小提示：

相等的量是距离平方：取 $D = (0,b)$ 、 $E = (x,0)$ 、 $F = (a,b-y)$ ，它们位于一个 $a \times b$ 矩形中，则三角形 $DEF$ 是等边三角形

The equal quantities are squared distances: with $D = (0,b),$ $E = (x,0),$ $F = (a,b-y)$ in an $a \times b$ rectangle, triangle $DEF$ is equilateral

大提示：

令 $\theta = \angle ADE$ ，等边条件迫使 $\frac{a}{b} = \frac{\cos(30^\circ - \theta)} {\cos\theta}$ ，它随 $\theta$ 增大，而 $y \ge 0$ 将 $\theta$ 限制到至多 $30^\circ$

With $\theta = \angle ADE,$ equal sides force $\frac{a}{b} = \frac{\cos(30^\circ - \theta)} {\cos\theta},$ which increases in $\theta,$ while $y \ge 0$ caps $\theta$ at $30^\circ$

解答：

画一个顶点为 $A = (0, 0)$ 、 $B = (a, 0)$ 、 $C = (a, b)$ 、 $D = (0, b)$ 的矩形，并令 $E = (x, 0)$ 在 $\overline{AB}$ 上， $F = (a, b - y)$ 在 $\overline{BC}$ 上。那么 $DE^2 = b^2 + x^2$ ， $DF^2 = a^2 + y^2$ ，且 $EF^2 = (a - x)^2 + (b - y)^2$ ，所以方程组正是说三角形 $DEF$ 是等边三角形，而约束条件保证 $E$ 与 $F$ 在这两条边上。

令 $\theta = \angle ADE$ ，则 $x = b\tan\theta$ ，且 $DE = \frac{b}{\cos\theta}$ 。因为 $\angle EDF = 60^\circ$ ，而 $D$ 处的矩形角是 $90^\circ$ ，所以 $\angle CDF = 30^\circ - \theta$ ，从而 $y = a\tan(30^\circ - \theta)$ ，且 $DF = \frac{a}{\cos(30^\circ - \theta)}$ 。令 $DE = DF$ ，得到 $\begin{aligned} \frac{a}{b} &= \frac{\cos(30^\circ - \theta)}{\cos\theta} \\ &= \cos 30^\circ + \sin 30^\circ \tan\theta \end{aligned}\text{，}$ 它随 $\theta$ 增大而增大。条件 $x \ge 0$ 给出 $\theta \ge 0$ ，而 $y \ge 0$ 迫使 $\theta \le 30^\circ$ 。

因此最大值在 $\theta = 30^\circ$ 时取得，此时 $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ，并可由 $y = 0$ 和 $x = \frac{b}{\sqrt{3}} \lt a$ 实现。于是 $\rho^2 = \frac{4}{3}$ ，且 $m + n = 4 + 3 = 7$ 。

Draw the rectangle with vertices $A = (0, 0),$ $B = (a, 0),$ $C = (a, b),$ $D = (0, b),$ and let $E = (x, 0)$ on $\overline{AB}$ and $F = (a, b - y)$ on $\overline{BC}.$ Then $DE^2 = b^2 + x^2,$ $DF^2 = a^2 + y^2,$ and $EF^2 = (a - x)^2 + (b - y)^2,$ so the system says exactly that triangle $DEF$ is equilateral, with the constraints keeping $E$ and $F$ on those two sides.

Let $\theta = \angle ADE,$ so $x = b\tan\theta$ and $DE = \frac{b}{\cos\theta}.$ Since $\angle EDF = 60^\circ$ and the corner angle at $D$ is $90^\circ,$ we get $\angle CDF = 30^\circ - \theta,$ so $y = a\tan(30^\circ - \theta)$ and $DF = \frac{a}{\cos(30^\circ - \theta)}.$ Setting $DE = DF$ gives $\begin{aligned} \frac{a}{b} &= \frac{\cos(30^\circ - \theta)}{\cos\theta} \\ &= \cos 30^\circ + \sin 30^\circ \tan\theta, \end{aligned}$ which is increasing in $\theta.$ The requirement $x \ge 0$ gives $\theta \ge 0,$ while $y \ge 0$ forces $\theta \le 30^\circ.$

The maximum is therefore at $\theta = 30^\circ,$ where $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}},$ attained with $y = 0$ and $x = \frac{b}{\sqrt{3}} \lt a.$ Hence $\rho^2 = \frac{4}{3},$ and $m + n = 4 + 3 = 7.$

2008 AIME II 第 14 题

答案：7

难度评级：3270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 14 题