Question

定义正整数 $n$ 为阶乘尾数，其条件是存在正整数 $m$ ，使得 $m!$ 的十进制表示末尾恰有 $n$ 个零。小于 $1992$ 的正整数中，有多少个不是阶乘尾数？

Define a positive integer $n$ to be a factorial tail if there is some positive integer $m$ such that the decimal representation of $m!$ ends with exactly $n$ zeroes. How many positive integers less than $1992$ are not factorial tails?

答案

答案：396

知识点：末尾零阶乘补集计数

难度评级：2650

小提示：

令 $f(m)=\sum_{j\geq1}\lfloor \frac{m}{5^j}\rfloor$ ，它表示 $m!$ 末尾零的个数

Let $f(m)=\sum_{j\geq1}\lfloor \frac{m}{5^j}\rfloor$ , the number of trailing zeroes in $m!$

大提示：

$f$ 取得的每个正值都首次出现在某个 $5k$ 处，并且 $f(5k)=k+f(k)$

Every positive value attained by $f$ first appears at a multiple $5k$ , where $f(5k)=k+f(k)$

解答：

末尾零的个数为 $f(m)=\sum_{j\geq1}\lfloor \frac{m}{5^j}\rfloor$ 。它所取得的不同正值都出现在 $5k$ 处，并且 $f(5k)=k+f(k)$ 随 $k$ 严格递增。现在 $\begin{aligned}f(1595)&=319+63\\&\quad+12+2=396\end{aligned}\text{，}$ 所以 $f(7975)=1595+396=1991$ 。对 $k=1596$ ，同样计算得 $f(k)=396$ ，因而 $f(5k)=1992$ 。因此恰有 $1595$ 个不超过 $1991$ 的正整数是阶乘尾数。在 $1991$ 个小于 $1992$ 的正整数中，没有出现的数共有 $1991-1595=396$ 个。

The number of trailing zeroes is $f(m)=\sum_{j\geq1}\lfloor \frac{m}{5^j}\rfloor.$ Its positive distinct values occur at the multiples $5k,$ and $f(5k)=k+f(k)$ is strictly increasing with $k.$ Now $\begin{aligned}f(1595)&=319+63\\&\quad+12+2=396,\end{aligned}$ so $f(7975)=1595+396=1991.$ For $k=1596,$ the same calculation gives $f(k)=396,$ hence $f(5k)=1992.$ Therefore exactly $1595$ positive values through $1991$ are factorial tails. Of the $1991$ positive integers below $1992,$ the number omitted is $1991-1595=396.$

1992 AIME 第 15 题

答案：396

难度评级：2650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题