1985 AIME Problem 1

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Let $x_1=97,$ and for $n\gt1$ let $x_n=\frac{n}{x_{n-1}}.$ Calculate the product $x_1x_2\cdots x_8.$

Answer

Answer: 384

Concepts:recursion algebraic manipulation

Difficulty rating: 1610

Small Hint:

Multiply consecutive terms using the recurrence

Big Hint:

Group the requested product as $(x_1x_2)(x_3x_4)(x_5x_6)(x_7x_8)$

Solution:

The recurrence gives $x_{n-1}x_n=n.$ Therefore $\begin{aligned} x_1x_2\cdots x_8 &=(x_1x_2)(x_3x_4)\\ &\quad{}\cdot(x_5x_6)(x_7x_8)\\ &=2\cdot4\cdot6\cdot8\\ &=384. \end{aligned}$

Full Exam

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