What is the sum of the solutions to the equation √[4]x=\frac127-√[4]x?

1986 AIME Problem 1 — Solution | LIVE by Po-Shen Loh

1986 AIME Problem 1

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What is the sum of the solutions to the equation $\sqrt[4]{x}=\frac{12}{7-\sqrt[4]{x}}?$

Answer

Answer: 337

Concepts:quadratic radical substitution

Difficulty rating: 1660

Small Hint:

Substitute $t=\sqrt[4]{x}$

Big Hint:

After clearing the denominator, factor the resulting quadratic in $t$

Solution:

Let $t=\sqrt[4]{x},$ so $t\geq0.$ The equation becomes $t(7-t)=12,$ or $t^2-7t+12=0.$ Thus $t=3$ or $t=4,$ and both values are valid in the original equation. Hence $x=3^4=81$ or $x=4^4=256,$ and their sum is $81+256=337.$

Full Exam

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