Question

一只青蛙按如下规则在数轴上跳跃。

• 它从 $0$ 开始。

• 如果它在 $0$ ，那么它移动到 $1$ 的概率为 $\dfrac{1}{2}$ ，并以概率 $\dfrac{1}{2}$ 消失。

• 对于 $n = 1, 2$ 或 $3$ ，如果它在 $n$ ，那么它移动到 $n+1$ 的概率为 $\dfrac{1}{4}$ ，移动到 $n-1$ 的概率为 $\dfrac{1}{4}$ ，并以概率 $\dfrac{1}{2}$ 消失。

青蛙到达 $4$ 的概率是多少？

A frog hops along the number line according to the following rules.

• It starts at $0.$

• If it is at $0,$ then it moves to $1$ with probability $\dfrac{1}{2}$ and it disappears with probability $\dfrac{1}{2}.$

• For $n = 1, 2,$ or $3,$ if it is at $n,$ then it moves to $n+1$ with probability $\dfrac{1}{4},$ it moves to $n-1$ with probability $\dfrac{1}{4},$ and it disappears with probability $\dfrac{1}{2}.$

What is the probability that the frog reaches $4?$

$\dfrac{1}{101}$

$\dfrac{1}{100}$

$\dfrac{1}{99}$

$\dfrac{1}{98}$

$\dfrac{1}{97}$

答案：E

知识点：随机游走递推概率方程组

难度评级：2110

解答：

令 $f(n)$ 为从 $n$ 出发最终到达 $4$ 的概率。则 $f(0) = \tfrac{1}{2} f(1)$ ，且对 $n = 1, 2, 3$ 有 $f(n) = \tfrac{1}{4} f(n+1) + \tfrac{1}{4} f(n-1)$ ，并且 $f(4) = 1$ 。依次求解得 $f(2) = \tfrac{7}{2} f(1)$ 和 $f(3) = 13 f(1)$ ；再由 $4 \cdot 13 f(1) = 1 + \tfrac{7}{2} f(1)$ 得 $f(1) = \tfrac{2}{97}$ ，从而 $f(0) = \tfrac{1}{97}$ 。

所以正确答案是 E。

Let $f(n)$ be the probability of reaching $4$ from $n.$ Then $f(0) = \tfrac{1}{2} f(1),$ and for $n = 1, 2, 3,$ $f(n) = \tfrac{1}{4} f(n+1) + \tfrac{1}{4} f(n-1),$ with $f(4) = 1.$ Solving upward gives $f(2) = \tfrac{7}{2} f(1)$ and $f(3) = 13 f(1);$ then $4 \cdot 13 f(1) = 1 + \tfrac{7}{2} f(1)$ yields $f(1) = \tfrac{2}{97},$ so $f(0) = \tfrac{1}{97}.$

Thus, the correct answer is E.

2025 AMC 12B 第 20 题

答案：E

难度评级：2110

解答：

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