2025 AMC 12A 第 20 题

Question

下图所示五面体的底面是一个

13 \times 8

的矩形，它的侧面包括两个底边长为

8

、两腰长为

13

的等腰三角形，以及两个底边长分别为

7

和

13

、非平行边长为

13

的等腰梯形。

这个五面体的体积是多少？

The base of the pentahedron shown below is a

13 \times 8

rectangle, and its lateral faces are two isosceles triangles with base of length

8

and congruent sides of length

13,

and two isosceles trapezoids with bases of lengths

7

and

13

and nonparallel sides of length

13.

What is the volume of the pentahedron?

416

520

528

676

832

答案：C

知识点：立体几何体积多面体

难度评级：2110

小提示：

将长为

7

的棱放在高度

h

处；斜边给出

\sqrt{3^2 + 4^2 + h^2} = 13

，所以

h = 12

。

Place the ridge of length

7

at height

h

; a slant edge gives

\sqrt{3^2 + 4^2 + h^2} = 13,

so

h = 12

大提示：

高度

z

处的截面是一个

\left(13 - \tfrac{z}{2}\right) \times \left(8 - \tfrac{2z}{3}\right)

的矩形

The cross-section at height

z

is a

\left(13 - \tfrac{z}{2}\right) \times \left(8 - \tfrac{2z}{3}\right)

rectangle

解答：

顶部是一条长为

7

的棱，居中位于底面上方某个高度

h

。它的两个端点分别在

13 \times 8

底面的

(3, 4)

和

(10, 4)

上方。从端点到一个底面顶点的斜边长为

\sqrt{3^2 + 4^2 + h^2} = 13

，所以

h = 12

。

在高度

z

处，水平截面是一个矩形，尺寸为

\left(13 - \dfrac{z}{2}\right)

乘

\left(8 - \dfrac{2z}{3}\right)

。当

z = 0

时面积为

104

；当

z = 6

时面积为

10 \cdot 4 = 40

；当

z = 12

时顶棱面积为

0

。

由棱台公式，

\begin{aligned} V &= \frac{12}{6}\left(104 + 4 \cdot 40 + 0\right) \\ &= 2(264) = 528 \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 C。

The top is a ridge of length

7,

centered above the base at some height

h.

Its endpoints sit above

(3, 4)

and

(10, 4)

of the

13 \times 8

base. A slant edge to a base corner has length

\sqrt{3^2 + 4^2 + h^2} = 13,

so

h = 12.

At height

z,

the horizontal cross-section is a rectangle measuring

\left(13 - \dfrac{z}{2}\right)

by

\left(8 - \dfrac{2z}{3}\right).

At

z = 0

its area is

104

; at

z = 6

it is

10 \cdot 4 = 40

; at

z = 12

the ridge has area

0.

By the prismatoid formula,

\begin{aligned} V &= \frac{12}{6}\left(104 + 4 \cdot 40 + 0\right) \\ &= 2(264) = 528. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A 第 20 题

答案：C

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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