2024 AMC 12A 第 23 题

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23.

求下式的值：

\begin{aligned} &\tan^2\frac{\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{3\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{5\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{3\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{7\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{5\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{7\pi}{16} \end{aligned}\text{？}

What is the value of

\begin{aligned} &\tan^2\frac{\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{3\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{5\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{3\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{7\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{5\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{7\pi}{16}? \end{aligned}

28

68

70

72

84

答案：B

知识点：三角恒等式因式分解

难度评级：2370

小提示：

令

a,b,c,d=\tan^2\frac{\pi}{16}

，

\tan^2\frac{3\pi}{16}

，

\tan^2\frac{5\pi}{16}

，

\tan^2\frac{7\pi}{16}

；这个和可因式分解为

(a+d)(b+c)

Let

a,b,c,d=\tan^2\frac{\pi}{16},

\tan^2\frac{3\pi}{16},

\tan^2\frac{5\pi}{16},

\tan^2\frac{7\pi}{16};

the sum factors as

(a+d)(b+c)

大提示：

\tan\frac{7\pi}{16}=\cot\frac{\pi}{16}

，且

\tan^2x+\cot^2x=\dfrac{4}{\sin^2 2x}-2

。

\tan\frac{7\pi}{16}=\cot\frac{\pi}{16},

and

\tan^2x+\cot^2x=\dfrac{4}{\sin^2 2x}-2

解答：

令

a=\tan^2\tfrac{\pi}{16},\

b=\tan^2\tfrac{3\pi}{16},\

c=\tan^2\tfrac{5\pi}{16},\

d=\tan^2\tfrac{7\pi}{16}

，原式为

ab+ac+bd+cd

=(a+d)(b+c)

。

因为

\tfrac{7\pi}{16}=\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{16}

，所以

d=\cot^2\tfrac{\pi}{16}

，从而

a+d=\tan^2\tfrac{\pi}{16}+\cot^2\tfrac{\pi}{16}

=\tfrac{4}{\sin^2(\frac{\pi}{8})}-2

=14+8\sqrt2

。同理

b+c=\tfrac{4}{\sin^2(\frac{3\pi}{8})}-2

=14-8\sqrt2

。两者乘积为

14^2-(8\sqrt2)^2=196-128=68

。

因此正确答案是 B。

With

a=\tan^2\tfrac{\pi}{16},\

b=\tan^2\tfrac{3\pi}{16},\

c=\tan^2\tfrac{5\pi}{16},\

d=\tan^2\tfrac{7\pi}{16},

the expression is

ab+ac+bd+cd

=(a+d)(b+c).

Since

\tfrac{7\pi}{16}=\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{16},

we have

d=\cot^2\tfrac{\pi}{16},

so

a+d=\tan^2\tfrac{\pi}{16}+\cot^2\tfrac{\pi}{16}

=\tfrac{4}{\sin^2(\frac{\pi}{8})}-2

=14+8\sqrt2.

Likewise

b+c=\tfrac{4}{\sin^2(\frac{3\pi}{8})}-2

=14-8\sqrt2.

Their product is

14^2-(8\sqrt2)^2=196-128=68.

Thus, the correct answer is B.

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