2022 AMC 12A 第 20 题

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20.

等腰梯形

ABCD

的平行边为

\overline{AD}

和

\overline{BC}

，且

BC\lt AD

、

AB=CD

。平面上有一点

P

，满足

PA=1

、

PB=2

、

PC=3

，且

PD=4

。求

\dfrac{BC}{AD}

？

Isosceles trapezoid

ABCD

has parallel sides

\overline{AD}

and

\overline{BC},

with

BC\lt AD

and

AB=CD.

There is a point

P

in the plane such that

PA=1,

PB=2,

PC=3,

and

PD=4.

What is

\dfrac{BC}{AD}?

\dfrac14

\dfrac13

\dfrac12

\dfrac23

\dfrac34

答案：B

知识点：坐标几何梯形对称性

难度评级：2110

小提示：

令

A=(-p,0)

，

D=(p,0)

，

B=(-q,h)

，

C=(q,h)

，使梯形关于

y

轴对称

Put

A=(-p,0),

D=(p,0),

B=(-q,h),

C=(q,h),

symmetric about the

y

-axis

大提示：

PA^2-PD^2

和

PB^2-PC^2

都等于

P

的

x

坐标的一个倍数

Both

PA^2-PD^2

and

PB^2-PC^2

equal a multiple of the

x

-coordinate of

P

解答：

将梯形放成关于

y

轴对称：

A=(-p,0)

，

D=(p,0)

，

B=(-q,h)

，

C=(q,h)

，并设

P=(x,y)

。

则

PA^2-PD^2=4px

=1-16=-15

而

PB^2-PC^2=4qx

=4-9=-5

。两式相除得

\dfrac{p}{q}=3

。

因为

AD=2p

且

BC=2q

，所以

\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{q}{p}=\dfrac13

。

因此，正确答案是 B。

Place the trapezoid symmetric about the

y

-axis:

A=(-p,0),

D=(p,0),

B=(-q,h),

C=(q,h),

with

P=(x,y).

Then

PA^2-PD^2=4px

=1-16=-15

and

PB^2-PC^2=4qx

=4-9=-5.

Dividing gives

\dfrac{p}{q}=3.

Since

AD=2p

and

BC=2q,

we get

\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{q}{p}=\dfrac13.

Thus, the correct answer is B.

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