Question

四边形 $ABCD$ 满足 $\angle ABC = \angle ACD = 90^\circ$ ， $AC = 20$ ，且 $CD = 30$ 。对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$ ，且 $AE = 5$ 。四边形 $ABCD$ 的面积是多少？

Quadrilateral $ABCD$ satisfies $\angle ABC = \angle ACD = 90^\circ,$ $AC = 20,$ and $CD = 30.$ Diagonals $AC$ and $BD$ intersect at point $E,$ and $AE = 5.$ What is the area of quadrilateral $ABCD?$

$330$

$340$

$350$

$360$

$370$

答案：D

知识点：坐标几何圆面积分割

难度评级：1800

解答：

设 $A = (0,0)$ ， $C = (20, 0)$ 。因为 $\angle ACD = 90^\circ$ ，所以 $D = (20, 30)$ ；又因 $AE = 5$ ，所以 $E = (5, 0)$ 。

因为 $\angle ABC = 90^\circ$ ，点 $B$ 在以 $(10, 0)$ 为圆心、半径为 $10$ 的圆上。直线 $DE$ 上的点可写为 $(5 + t,\, 2t)$ ；代入圆方程得到 $t^2 - 2t - 15 = 0$ ，所以 $t = 5$ 或 $t = -3$ 。

为使 $E$ 位于 $B$ 与 $D$ 之间，取 $t = -3$ ，得到 $B = (2, -6)$ ，它到直线 $AC$ 的距离为 $6$ 。

于是 $[ACD] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 30 = 300$ ，且 $[ABC] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 6 = 60$ ，总面积为 $360$ 。

因此，正确答案是 D。

Place $A = (0,0)$ and $C = (20, 0).$ Since $\angle ACD = 90^\circ,$ $D = (20, 30),$ and $E = (5, 0)$ because $AE = 5.$

Since $\angle ABC = 90^\circ,$ $B$ lies on the circle of radius $10$ centered at $(10, 0).$ Line $DE$ is $(5 + t,\, 2t);$ substituting gives $t^2 - 2t - 15 = 0,$ so $t = 5$ or $t = -3.$

For $E$ to lie between $B$ and $D,$ take $t = -3,$ giving $B = (2, -6),$ a distance $6$ below line $AC.$

Then $[ACD] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 30 = 300$ and $[ABC] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 6 = 60,$ so the total area is $360.$

Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 18 题

答案：D

难度评级：1800

解答：

其他年份的第 18 题