2017 AMC 12A 第 18 题

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18.

设

S(n)

表示正整数

n

的各位数字之和。例如，

S(1507)=13

。对某个正整数

n

，有

S(n)=1274

。下列哪一个可能是

S(n+1)

的值？

Let

S(n)

equal the sum of the digits of positive integer

n.

For example,

S(1507)=13.

For a particular positive integer

n,

S(n)=1274.

Which of the following could be the value of

S(n+1)?

1

3

12

1239

1265

答案：D

知识点：数字模运算

难度评级：1990

小提示：

如果

n

恰好以

k

个九结尾，加

1

会使数字和减少

9k

，再增加

1

。

If

n

ends in exactly

k

nines, adding

1

drops the digit sum by

9k

and adds

1

大提示：

所以

S(n+1)=1275-9k

；检查哪个选项有这种形式

So

S(n+1)=1275-9k;

check which choice has this form

解答：

给

n

加

1

通常会使数字和增加

1

，但末尾的每个

9

都会变成

0

，使数字和减少

9

。如果

n

恰好以

k

个九结尾，则

S(n+1)=S(n)+1-9k

=1275-9k

。

因此可能值为

1275,1266,1257,\ldots

在选项中，只有

1239=1275-9\cdot4

符合（例如，

n

可以以四个

9

结尾，前面有足够多的

1

）。

所以正确答案是 D。

Adding

1

to

n

increases the digit sum by

1,

except that each trailing

9

turns into a

0,

losing

9.

If

n

ends in exactly

k

nines, then

S(n+1)=S(n)+1-9k

=1275-9k.

So the possible values are

1275,1266,1257,\ldots

Among the choices, only

1239=1275-9\cdot4

fits (for example,

n

ending in four

9

s preceded by enough

1

s).

Thus, the correct answer is D.

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