2016 AMC 12A 第 23 题

Question

从区间

[0,1]

中独立随机选取三个数。所选三个数能作为一个面积为正的三角形的边长的概率是多少？

Three numbers in the interval

[0,1]

are chosen independently and at random. What is the probability that the chosen numbers are the side lengths of a triangle with positive area?

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{5}{6}

答案：C

知识点：几何概率三角不等式体积

难度评级：2160

小提示：

三元组

(x,y,z)

填满单位立方体；不能构成三角形意味着某个数

\ge

另外两个数之和。

The triples

(x,y,z)

fill a unit cube; failure means one number

\ge

the sum of the other two

大提示：

每个区域，例如

z\ge x+y

都是体积为

\frac16

的四面体。

Each region such as

z\ge x+y

is a tetrahedron of volume

\frac16

解答：

有序三元组

(x,y,z)

填满体积为

1

的单位立方体。不能构成三角形，恰好意味着某个数大于或等于另外两个数之和。

区域

z\ge x+y

是一个四面体，顶点为

(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)

，体积为

\frac16

。类似地，区域

x\ge y+z

和

y\ge x+z

的体积也各为

\frac16

，而且内部互不相交。因此不能构成三角形的概率为

3\cdot\frac16=\frac12

，能构成三角形的概率为

1-\frac12=\frac12

。

所以正确答案是 C。

The ordered triples

(x,y,z)

fill the unit cube of volume

1.

They fail to form a triangle exactly when one value is at least the sum of the other two.

The region

z\ge x+y

is a tetrahedron with vertices

(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)

of volume

\frac16.

The analogous regions

x\ge y+z

and

y\ge x+z

also have volume

\frac16

and have disjoint interiors. So the failure probability is

3\cdot\frac16=\frac12,

and the triangle probability is

1-\frac12=\frac12.

Thus, the correct answer is C.

2016 AMC 12A 第 23 题

答案：C

难度评级：2160

小提示：

大提示：

解答：

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