Question

从区间 $[0,1]$ 中独立随机选取三个数。所选三个数能作为一个面积为正的三角形的边长的概率是多少？

Three numbers in the interval $[0,1]$ are chosen independently and at random. What is the probability that the chosen numbers are the side lengths of a triangle with positive area?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{5}{6}$

答案：C

知识点：几何概率三角不等式体积

难度评级：2160

解答：

有序三元组 $(x,y,z)$ 填满体积为 $1$ 的单位立方体。不能构成三角形，恰好意味着某个数大于或等于另外两个数之和。

区域 $z\ge x+y$ 是一个四面体，顶点为 $(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)$ ，体积为 $\frac16$ 。类似地，区域 $x\ge y+z$ 和 $y\ge x+z$ 的体积也各为 $\frac16$ ，而且内部互不相交。因此不能构成三角形的概率为 $3\cdot\frac16=\frac12$ ，能构成三角形的概率为 $1-\frac12=\frac12$ 。

所以正确答案是 C。

The ordered triples $(x,y,z)$ fill the unit cube of volume $1.$ They fail to form a triangle exactly when one value is at least the sum of the other two.

The region $z\ge x+y$ is a tetrahedron with vertices $(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)$ of volume $\frac16.$ The analogous regions $x\ge y+z$ and $y\ge x+z$ also have volume $\frac16$ and have disjoint interiors. So the failure probability is $3\cdot\frac16=\frac12,$ and the triangle probability is $1-\frac12=\frac12.$

Thus, the correct answer is C.

2016 AMC 12A 第 23 题

答案：C

难度评级：2160

解答：

其他年份的第 23 题