2015 AMC 12A 第 18 题

Question

函数

f(x) = x^2 - ax + 2a

的零点都是整数。

a

的所有可能值之和是多少？

The zeros of the function

f(x) = x^2 - ax + 2a

are integers. What is the sum of the possible values of

a?

7

8

16

17

18

答案：C

知识点：韦达定理西蒙最爱的因式分解技巧

难度评级：1990

小提示：

如果整数根为

p,q

则

p+q = a

且

pq = 2a

。

If the integer roots are

p,q

then

p+q = a

and

pq = 2a

大提示：

消去

a

得

pq = 2(p+q)

，即

(p-2)(q-2) = 4

Eliminate

a

to get

pq = 2(p+q),

i.e.

(p-2)(q-2) = 4

解答：

设整数零点为

p

和

q

。由韦达定理，

p + q = a

且

pq = 2a

，所以

pq = 2(p+q)

。整理得

(p-2)(q-2) = 4\text{。}

4

的整数因子对为

(1,4)

、

(2,2)

、

(4,1)

、

(-1,-4)

、

(-2,-2)

、

(-4,-1)

。由此得到的

(p,q)

对应的和为

a = 9, 8, -1

和

0

。

a

的不同可能值为

9, 8, 0, -1

，它们的和为

16

。

因此，正确答案是 C。

Let the integer zeros be

p

and

q.

By Vieta’s formulas

p + q = a

and

pq = 2a,

so

pq = 2(p+q).

Rearranging gives

(p-2)(q-2) = 4.

The integer factor pairs of

4

are

(1,4),

(2,2),

(4,1),

(-1,-4),

(-2,-2),

(-4,-1),

which yield

(p,q)

pairs summing to

a = 9, 8, -1,

and

0.

The distinct possible values of

a

are

9, 8, 0, -1,

whose sum is

16.

Thus, the correct answer is C.

2015 AMC 12A 第 18 题

答案：C

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题