2014 AMC 12B 第 18 题

Question

要把数字

1

，

2

，

3

，

4

，

5

排成一圈。如果不能对从

1

到

15

的每个

n

，都找到圆上连续的一段数字，使其和为

n

，则称这个排列为坏排列。只相差旋转或翻折的排列视为相同。有多少种不同的坏排列？

The numbers

1,

2,

3,

4,

5

are to be arranged in a circle. An arrangement is bad if it is not true that for every

n

from

1

to

15

one can find a subset of the numbers that appear consecutively on the circle that sum to

n.

Arrangements that differ only by a rotation or a reflection are considered the same. How many different bad arrangements are there?

1

2

3

4

5

答案：B

知识点：环形排列补集计数分类讨论

难度评级：2150

小提示：

和

1

到

5

总能用单个数字得到。

Sums

1

through

5

are always achievable with a single number

大提示：

如果一个连续段的和为

n

，它的补集和为

15-n

，所以只有

6

和

7

可能失败。

If a consecutive block sums to

n,

its complement sums to

15-n,

so only

6

and

7

can fail

解答：

任意单个数字都能得到

1

到

5

的和。如果某个连续段的和为

n

，剩余数字也组成一个连续段，其和为

15 - n

，所以从

10

到

14

的和也自动可以得到。因此，一个排列是坏排列，只可能是因为不能得到

6

或

7

。

如果不能得到

6

，通过旋转和翻折可设顺序为

1bc5e

。数对

\{b,c\}

不能是

\{2,3\}

或

\{2,4\}

，所以

e=2

；再避开连续段

213

，就迫使排列为

14352

。如果不能得到

7

，将顺序写成

2bc5e

。此时

\{b,c\}

不能是

\{3,4\}

或

\{1,4\}

，所以

e=4

，避开

421

就迫使排列为

23154

。

在旋转和翻折意义下，只有这两个坏排列。

因此，正确答案是 B。

Any single number covers sums

1

through

5.

If a consecutive block sums to

n,

the remaining numbers form a consecutive block summing to

15 - n,

so sums

10

through

14

are automatically covered as well. Thus an arrangement is bad only if it fails to produce

6

or

7.

If

6

cannot be formed, rotate and reflect so the order is

1bc5e.

The pair

\{b,c\}

cannot be

\{2,3\}

or

\{2,4\},

so

e=2;

avoiding the block

213

then forces

14352.

If

7

cannot be formed, write the order as

2bc5e.

Now

\{b,c\}

cannot be

\{3,4\}

or

\{1,4\},

so

e=4,

and avoiding

421

forces

23154.

These are the only two bad arrangements up to rotation and reflection.

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12B 第 18 题

答案：B

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

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