Question

当 $135^\circ \lt x \lt 180^\circ$ 时，点 $P = (\cos x, \cos^2 x)$ 、 $Q = (\cot x, \cot^2 x)$ 、 $R = (\sin x, \sin^2 x)$ 、 $S = (\tan x, \tan^2 x)$ 是一个梯形的四个顶点。求 $\sin(2x)$ 。

For $135^\circ \lt x \lt 180^\circ,$ points $P = (\cos x, \cos^2 x),$ $Q = (\cot x, \cot^2 x),$ $R = (\sin x, \sin^2 x),$ and $S = (\tan x, \tan^2 x)$ are the vertices of a trapezoid. What is $\sin(2x)?$

$2 - 2\sqrt2$

$3\sqrt3 - 6$

$3\sqrt2 - 5$

$-\dfrac{3}{4}$

$1 - \sqrt3$

答案：A

知识点：抛物线三角恒等式梯形

难度评级：2270

解答：

每个点 $(t, t^2)$ 都在 $y = t^2$ 上，而连接参数为 $t_1, t_2$ 的两点所得弦的斜率为 $t_1 + t_2$ 。当 $135^\circ \lt x \lt 180^\circ$ 时， $\cos x$ 和 $\tan x$ 都介于 $\cot x$ 与 $\sin x$ 之间，所以 $P$ 、 $S$ 位于 $Q$ 、 $R$ 之间，平行边为 $QR$ 和 $PS$ 。由斜率相等可得 $\cot x + \sin x = \tan x + \cos x$ 。两边乘以 $\sin x\cos x$ 并化简，得 $\cos x + \sin x - \sin x\cos x = 0$ 。两边平方，再利用 $2\sin x\cos x = \sin 2x$ ，可得 $1 + \sin 2x = \tfrac14\sin^2 2x$ 。它在 $(-1, 1)$ 中唯一的根为 $\sin 2x = 2 - 2\sqrt2$ 。所以正确答案是 A。

Each point $(t, t^2)$ lies on $y = t^2,$ and the chord through parameters $t_1, t_2$ has slope $t_1 + t_2.$ For $135^\circ \lt x \lt 180^\circ,$ both $\cos x$ and $\tan x$ lie between $\cot x$ and $\sin x,$ so $P$ and $S$ sit between $Q$ and $R$ and the parallel sides are $QR$ and $PS.$ Equal slopes give $\cot x + \sin x = \tan x + \cos x.$ Multiplying by $\sin x\cos x$ and simplifying yields $\cos x + \sin x - \sin x\cos x = 0.$ Squaring and using $2\sin x\cos x = \sin 2x$ gives $1 + \sin 2x = \tfrac14\sin^2 2x,$ whose only root in $(-1, 1)$ is $\sin 2x = 2 - 2\sqrt2.$ Thus, the correct answer is A.

2013 AMC 12B 第 20 题

答案：A

难度评级：2270

解答：

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