2011 AMC 12B 第 23 题

Question

一只虫子在坐标平面上移动，只沿着平行于

x

-轴或

y

-轴的直线行走。设

A=(-3, 2)

、

B=(3, -2)

。考虑所有从

A

到

B

、长度至多为

20

的可能路径。有多少个整数坐标点位于至少一条这样的路径上？

A bug travels in the coordinate plane, moving only along the lines that are parallel to the

x

-axis or

y

-axis. Let

A=(-3, 2)

and

B=(3, -2).

Consider all possible paths of the bug from

A

to

B

of length at most

20.

How many points with integer coordinates lie on at least one of these paths?

161

185

195

227

255

答案：C

知识点：格点分类讨论对称性

难度评级：2390

小提示：

点

X

在某条这样路径上，当且仅当它的出租车距离满足

d(A,X)+d(X,B)\le20

。

A point

X

lies on such a path iff its taxicab distances satisfy

d(A,X)+d(X,B)\le20

大提示：

这就是

|x-3|+|x+3|

+|y-2|+|y+2|\le20

；按关于坐标轴的对称性计数。

This is

|x-3|+|x+3|

+|y-2|+|y+2|\le20;

count by symmetry across the axes

解答：

格点

X=(x,y)

位于某条路径上，当且仅当

\begin{aligned} d&=|x-3|+|x+3| \\ &\quad {}+|y-2|+|y+2|\le20 \end{aligned}\text{。}

该式在

x\to-x

或

y\to-y

时不变，所以先数

x\ge0

、

y\ge0

的点，再乘以

4

，并校正坐标轴上的重复计数。

若

0\le x\le3

且

0\le y\le2

，则这

4\cdot3=12

个点全都满足条件。若

0\le x\le3

且

y\ge3

，则

y\le7

，共给出

4\cdot5=20

个点。若

x\ge4

且

0\le y\le2

，则

x\le8

，共给出

5\cdot3=15

个点。最后，当

x\ge4

且

y\ge3

时，条件化为

x+y\le10

，共给出

4+3+2+1=10

个点。于是第一象限中共有

57

个点，其中

15

个位于非负坐标轴上。由对称性，总数为

4\cdot57-2\cdot15-3=195\text{。}

所以正确答案是 C。

A lattice point

X=(x,y)

lies on some path exactly when

\begin{aligned} d&=|x-3|+|x+3| \\ &\quad {}+|y-2|+|y+2|\le20. \end{aligned}

This expression is unchanged when

x\to-x

or

y\to-y,

so we count points with

x\ge0,

y\ge0,

multiply by

4,

and correct for the axes.

If

0\le x\le3

and

0\le y\le2,

all

4\cdot3=12

points work. If

0\le x\le3

and

y\ge3,

then

y\le7,

giving

4\cdot5=20

points. If

x\ge4

and

0\le y\le2,

then

x\le8,

giving

5\cdot3=15

points. Finally, for

x\ge4

and

y\ge3,

the condition is

x+y\le10,

giving

4+3+2+1=10

points. Thus there are

57

in the first quadrant, including

15

on the nonnegative axes. By symmetry the total is

4\cdot57-2\cdot15-3=195.

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12B 第 23 题

答案：C

难度评级：2390

小提示：

大提示：

解答：

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