Question

一只虫子在坐标平面上移动，只沿着平行于 $x$ -轴或 $y$ -轴的直线行走。设 $A=(-3, 2)$ 、 $B=(3, -2)$ 。考虑所有从 $A$ 到 $B$ 、长度至多为 $20$ 的可能路径。有多少个整数坐标点位于至少一条这样的路径上？

A bug travels in the coordinate plane, moving only along the lines that are parallel to the $x$ -axis or $y$ -axis. Let $A=(-3, 2)$ and $B=(3, -2).$ Consider all possible paths of the bug from $A$ to $B$ of length at most $20.$ How many points with integer coordinates lie on at least one of these paths?

$161$

$185$

$195$

$227$

$255$

答案：C

知识点：格点分类讨论对称性

难度评级：2390

解答：

格点 $X=(x,y)$ 位于某条路径上，当且仅当该式在 $x\to-x$ 或 $y\to-y$ 时不变，所以先数 $x\ge0$ 、 $y\ge0$ 的点，再乘以 $4$ ，并校正坐标轴上的重复计数。 $\begin{aligned} d&=|x-3|+|x+3| \\ &\quad {}+|y-2|+|y+2|\le20. \end{aligned}$

根据 $0\le x\le3$ 与 $0\le y\le2$ 是否成立分成四块，第一象限（含坐标轴）内共有 $4\cdot3=12$ 个点。由对称性，总数为 $0\le x\le3$ $y\ge3$ ， $y\le7$ ， $4\cdot5=20$ $x\ge4$ $0\le y\le2$ ， $x\le8$ ， $5\cdot3=15$ $x\ge4$ $y\ge3$ ， $x+y\le10$ ， $4+3+2+1=10$ $57$ $15$ $4\cdot57-2\cdot15-3=195.$

所以正确答案是 C。

A lattice point $X=(x,y)$ lies on some path exactly when $\begin{aligned} d&=|x-3|+|x+3| \\ &\quad {}+|y-2|+|y+2|\le20. \end{aligned}$ This expression is unchanged when $x\to-x$ or $y\to-y,$ so we count points with $x\ge0,$ $y\ge0,$ multiply by $4,$ and correct for the axes.

If $0\le x\le3$ and $0\le y\le2,$ all $4\cdot3=12$ points work. If $0\le x\le3$ and $y\ge3,$ then $y\le7,$ giving $4\cdot5=20$ points. If $x\ge4$ and $0\le y\le2,$ then $x\le8,$ giving $5\cdot3=15$ points. Finally, for $x\ge4$ and $y\ge3,$ the condition is $x+y\le10,$ giving $4+3+2+1=10$ points. Thus there are $57$ in the first quadrant, including $15$ on the nonnegative axes. By symmetry the total is $4\cdot57-2\cdot15-3=195.$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12B 第 23 题

答案：C

难度评级：2390

解答：

其他年份的第 23 题