2007 AMC 12B 第 18 题

Question

设

a

、

b

、

c

是数字，且

a\ne0

。三位整数

\overline{abc}

位于某个正整数平方与下一个更大正整数平方之间三分之一处。整数

\overline{acb}

位于同两个平方之间三分之二处。求

a+b+c

。

Let

a,

b,

and

c

be digits with

a\ne0.

The three-digit integer

\overline{abc}

lies one third of the way from the square of a positive integer to the square of the next larger integer. The integer

\overline{acb}

lies two thirds of the way between the same two squares. What is

a+b+c?

10

13

16

18

21

答案：C

知识点：完全平方数位值整除性

难度评级：1930

小提示：

设两个平方为

N^2

和

(N+1)^2

；它们差为

2N+1

。

Let the two squares be

N^2

and

(N+1)^2;

their difference is

2N+1

大提示：

两个位置相减得

\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)=\tfrac{2N+1}{3}

。

Subtracting the two positions gives

\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)=\tfrac{2N+1}{3}

解答：

设较小平方数为

N^2

，较大平方数为

(N+1)^2

，两者间隔为

2N+1

。则

\overline{abc}=N^2+\dfrac{2N+1}{3}\text{，}

\overline{acb}=N^2+\dfrac{2(2N+1)}{3}\text{。}

两式相减，

\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)

=\dfrac{2N+1}{3}

，所以

27(c-b)=2N+1

。因为

\overline{acb}

在区间中位置更靠后，所以

c-b

为正；又因为右边是奇数，所以

c-b

是奇数。若

c-b\ge3

，则

N\ge40

，且

N^2

不再是三位数。

因此

c-b=1

，得到

N=13

。从

13^2=169

到

14^2=196

的三分之一与三分之二处分别为

178

和

187

，所以

a+b+c=1+7+8=16

。

所以正确答案是 C。

Let the smaller square be

N^2,

so the larger is

(N+1)^2

and the gap is

2N+1.

Then

\overline{abc}=N^2+\dfrac{2N+1}{3},

\overline{acb}=N^2+\dfrac{2(2N+1)}{3}.

Subtracting,

\overline{acb}-\overline{abc}=9(c-b)

=\dfrac{2N+1}{3},

so

27(c-b)=2N+1.

Since

\overline{acb}

is farther along the interval,

c-b

is positive; and because the right side is odd,

c-b

is odd. If

c-b\ge3,

then

N\ge40

and

N^2

is not three digits.

So

c-b=1,

giving

N=13.

The points one third and two thirds of the way from

13^2=169

to

14^2=196

are

178

and

187,

so

a+b+c=1+7+8=16.

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 12B 第 18 题

答案：C

难度评级：1930

小提示：

大提示：

解答：

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