Question

等腰 $\triangle ABC$ 在 $C$ 处为直角。点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 内部，且 $PA = 11$ 、 $PB = 7$ 、 $PC = 6$ 。直角边 $\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$ 的长度为 $s = \sqrt{a + b\sqrt{2}}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为正整数。求 $a + b$ 。

Isosceles $\triangle ABC$ has a right angle at $C.$ Point $P$ is inside $\triangle ABC,$ such that $PA = 11,$ $PB = 7,$ and $PC = 6.$ Legs $\overline{AC}$ and $\overline{BC}$ have length $s = \sqrt{a + b\sqrt{2}},$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a + b?$

$85$

$91$

$108$

$121$

$127$

答案：E

知识点：变换余弦定理勾股定理

难度评级：2390

解答：

将 $\triangle ABC$ 绕 $C$ 旋转 $90^\circ$ ，使 $A$ 映到 $B$ ， $P$ 映到 $P'$ 。则 $CP' = CP = 6$ ，且 $\angle PCP' = 90^\circ$ ，所以 $\triangle PCP'$ 是等腰直角三角形， $PP' = 6\sqrt2$ 。

另外 $BP' = AP = 11$ 。因为 $(6\sqrt2)^2 + 7^2 = 72 + 49$ $= 121 = 11^2$ ，三角形 $BPP'$ 在 $P$ 处为直角。因此 $\angle BPC = \angle BPP'$ $+ \angle P'PC = 90^\circ$ $+ 45^\circ = 135^\circ$ 。

在 $\triangle BPC$ 中使用余弦定理： $\begin{aligned} &BC^2 = 6^2 + 7^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 6 \cdot 7 \cos 135^\circ \\ &\quad = 85 + 42\sqrt2. \end{aligned}$

所以 $s^2 = 85 + 42\sqrt2$ ，得到 $a = 85$ 、 $b = 42$ ，因此 $a + b = 127$ 。

因此，正确答案是 E。

Rotate $\triangle ABC$ by $90^\circ$ about $C,$ sending $A$ to $B$ and $P$ to $P'.$ Then $CP' = CP = 6$ and $\angle PCP' = 90^\circ,$ so $\triangle PCP'$ is an isosceles right triangle with $PP' = 6\sqrt2.$

Also $BP' = AP = 11.$ Since $(6\sqrt2)^2 + 7^2 = 72 + 49$ $= 121 = 11^2,$ triangle $BPP'$ has a right angle at $P.$ Hence $\angle BPC = \angle BPP'$ $+ \angle P'PC = 90^\circ$ $+ 45^\circ = 135^\circ.$

By the Law of Cosines in $\triangle BPC,$ $\begin{aligned} &BC^2 = 6^2 + 7^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 6 \cdot 7 \cos 135^\circ \\ &\quad = 85 + 42\sqrt2. \end{aligned}$

So $s^2 = 85 + 42\sqrt2,$ giving $a = 85,$ $b = 42,$ and $a + b = 127.$

Thus, the correct answer is E.

2006 AMC 12B 第 23 题

答案：E

难度评级：2390

解答：

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