2004 AMC 12B 第 18 题

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18.

点

A

和

B

在抛物线

y = 4x^2 + 7x - 1

上，且原点是

\overline{AB}

的中点。

AB

的长度是多少？

Points

A

and

B

are on the parabola

y = 4x^2 + 7x - 1,

and the origin is the midpoint of

\overline{AB}.

What is the length of

AB?

2\sqrt{5}

5 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}

5 + \sqrt{2}

7

5\sqrt{2}

答案：E

知识点：抛物线中点距离公式

难度评级：1740

小提示：

若

B = (a, b)

，则

A = (-a, -b)

。

If

B = (a, b),

then

A = (-a, -b)

大提示：

将两个点都代入抛物线方程，然后把方程相减。

Substitute both points into the parabola and subtract the equations

解答：

设

B = (a, b)

、

A = (-a, -b)

。则

4a^2 + 7a - 1 = b

，且

4a^2 - 7a - 1 = -b

。相减得

14a = 2b

，所以

b = 7a

。再由

4a^2 + 7a - 1 = 7a

得

a^2 = \dfrac14

，且

b^2 = 49a^2 = \dfrac{49}{4}

。因此

AB = 2\sqrt{a^2 + b^2}

= 2\sqrt{\dfrac{50}{4}} = 5\sqrt{2}

。

因此正确答案是 E。

Let

B = (a, b)

and

A = (-a, -b).

Then

4a^2 + 7a - 1 = b

and

4a^2 - 7a - 1 = -b.

Subtracting gives

14a = 2b,

so

b = 7a.

Then

4a^2 + 7a - 1 = 7a

gives

a^2 = \dfrac14,

and

b^2 = 49a^2 = \dfrac{49}{4}.

So

AB = 2\sqrt{a^2 + b^2}

= 2\sqrt{\dfrac{50}{4}} = 5\sqrt{2}.

Thus, the correct answer is E.

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