Question

正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$ 。在正方形内部作以 $\overline{AB}$ 为直径的半圆，从 $C$ 向该半圆作切线，切线与边 $\overline{AD}$ 交于 $E$ 。 $\overline{CE}$ 的长度是多少？

Square $ABCD$ has side length $2.$ A semicircle with diameter $\overline{AB}$ is constructed inside the square, and the tangent to the semicircle from $C$ intersects side $\overline{AD}$ at $E.$ What is the length of $\overline{CE}?$

$\dfrac{2 + \sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{6}$

$\dfrac{5}{2}$

$5 - \sqrt{5}$

答案：D

知识点：切线圆幂勾股定理

难度评级：1860

解答：

设 $F$ 为 $CE$ 与半圆的切点。由于 $CB$ 和 $CF$ 都是从 $C$ 作出的切线，所以 $CF = CB = 2$ 。同理，令 $x = AE$ ，从 $E$ 作出的切线给出 $EF = EA = x$ 。

因此 $CE = CF + FE = 2 + x$ 。在直角三角形 $CDE$ 中， $CD = 2$ 且 $DE = 2 - x$ ，所以 $(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2.$

展开得 $8x = 4$ ，所以 $x = \tfrac12$ ，并且 $CE = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ 。

所以正确答案是 D。

Let $F$ be the point where $CE$ touches the semicircle. Since $CB$ and $CF$ are both tangents from $C,$ we have $CF = CB = 2.$ Similarly, with $x = AE,$ the tangents from $E$ give $EF = EA = x.$

Thus $CE = CF + FE = 2 + x.$ In right triangle $CDE,$ where $CD = 2$ and $DE = 2 - x,$ $(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2.$

Expanding gives $8x = 4,$ so $x = \tfrac12$ and $CE = 2 + \tfrac12 = \tfrac52.$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 12A 第 18 题

答案：D

难度评级：1860

解答：

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