2004 AMC 12A 第 18 题

Question

正方形

ABCD

的边长为

2

。在正方形内部作以

\overline{AB}

为直径的半圆，从

C

向该半圆作切线，切线与边

\overline{AD}

交于

E

。

\overline{CE}

的长度是多少？

Square

ABCD

has side length

2.

A semicircle with diameter

\overline{AB}

is constructed inside the square, and the tangent to the semicircle from

C

intersects side

\overline{AD}

at

E.

What is the length of

\overline{CE}?

\dfrac{2 + \sqrt{5}}{2}

\sqrt{5}

\sqrt{6}

\dfrac{5}{2}

5 - \sqrt{5}

答案：D

知识点：切线圆幂勾股定理

难度评级：1860

小提示：

从同一个外点向圆作的两条切线段相等。

Two tangent segments from a common external point to a circle are equal

大提示：

令

x = AE

，由切线段得到

CE = 2 + x

，再对

\triangle CDE

用勾股定理。

With

x = AE,

the tangent lengths give

CE = 2 + x,

then apply the Pythagorean theorem to

\triangle CDE

解答：

设

F

为

CE

与半圆的切点。由于

CB

和

CF

都是从

C

作出的切线，所以

CF = CB = 2

。同理，令

x = AE

，从

E

作出的切线给出

EF = EA = x

。

因此

CE = CF + FE = 2 + x

。在直角三角形

CDE

中，

CD = 2

且

DE = 2 - x

，所以

(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2\text{。}

展开得

8x = 4

，所以

x = \tfrac12

，并且

CE = 2 + \tfrac12 = \tfrac52

。

所以正确答案是 D。

Let

F

be the point where

CE

touches the semicircle. Since

CB

and

CF

are both tangents from

C,

we have

CF = CB = 2.

Similarly, with

x = AE,

the tangents from

E

give

EF = EA = x.

Thus

CE = CF + FE = 2 + x.

In right triangle

CDE,

where

CD = 2

and

DE = 2 - x,

(2 - x)^2 + 2^2 = (2 + x)^2.

Expanding gives

8x = 4,

so

x = \tfrac12

and

CE = 2 + \tfrac12 = \tfrac52.

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 12A 第 18 题

答案：D

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题