1992 AMC 12 第 18 题

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18.

递增正整数数列

a_1

、

a_2

、

a_3

、

\ldots

对每个

n\ge1

都满足

a_{n+2}=a_n+a_{n+1}\text{。}

若

a_7=120

，则

a_8

为

The increasing sequence of positive integers

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

has the property that, for every

n\ge1,

a_{n+2}=a_n+a_{n+1}.

If

a_7=120,

then

a_8

is

128

168

193

194

210

答案：D

知识点：Fibonacci recurrence Diophantine equation increasing sequence

难度评级：1960

小提示：

写出

a_7

和

a_8

关于

a_1

与

a_2

的表达式

Write

a_7

and

a_8

in terms of

a_1

and

a_2

大提示：

从

5a_1+8a_2=120

出发，使用同余关系和

a_2\gt a_1\gt0

From

5a_1+8a_2=120,

use congruences and

a_2\gt a_1\gt0

解答：

令

a_1=a

、

a_2=b

。反复使用递推关系可得

\begin{aligned} a_7&=5a+8b=120,\\ a_8&=8a+13b \end{aligned}\text{。}

对第一个方程模

5

，可知

b

是

5

的倍数。正数取值只有

b=5

、

b=10

或

b=15

。条件

b\gt a\gt0

使得只有

b=10

和

a=8

可行。因此

a_8=8(8)+13(10)=194

。

因此正确答案是 D。

Let

a_1=a

and

a_2=b.

Repeated use of the recurrence gives

\begin{aligned} a_7&=5a+8b=120,\\ a_8&=8a+13b. \end{aligned}

Modulo

5,

the first equation shows that

b

is a multiple of

5.

The positive possibilities are

b=5,

b=10,

or

b=15.

The conditions

b\gt a\gt0

leave only

b=10

and

a=8.

Hence

a_8=8(8)+13(10)=194.

Thus the correct answer is D.

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