1987 AMC 12 第 23 题

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23.

若

p

是质数，且方程

x^2+px-444p=0

的两个根都是整数，则

If

p

is a prime and both roots of

x^2+px-444p=0

are integers, then

1\lt p\le11

11\lt p\le21

21\lt p\le31

31\lt p\le41

41\lt p\le51

答案：D

知识点：integer roots prime divisibility Vieta’s formulas

难度评级：2110

小提示：

对于整数根

x

，将方程改写为

x^2=p(444-x)

For an integer root

x,

rewrite the equation as

x^2=p(444-x)

大提示：

由于

p

是质数，可令

x=np

，再分解

444

Since

p

is prime, write

x=np

and factor

444

解答：

整数根满足

x^2=p(444-x)\text{。}

因此

x

能被

p

整除，令

x=np

。代入可得

n(n+1)p=444=2^2\cdot3\cdot37\text{。}

连续两个整数的乘积这一条件只有在

p=37

时成立，此时

n=3

或

-4

。两个根是

111

和

-148

，所以

31\lt p\le41

。

因此，正确答案是 D。

An integer root satisfies

x^2=p(444-x).

Thus

x

is divisible by

p,

so write

x=np.

Substitution gives

n(n+1)p=444=2^2\cdot3\cdot37.

The consecutive product condition works only with

p=37,

for which

n=3

or

-4.

The roots are

111

and

-148,

so

31\lt p\le41.

Thus the correct answer is D.

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