1953 AMC 12 第 23 题

Question

方程

\sqrt{x+10}-\dfrac6{\sqrt{x+10}}=5

有：

The equation

\sqrt{x+10}-\dfrac6{\sqrt{x+10}}=5

has:

一个介于

-5

与

-1

之间的增根

an extraneous root between

-5

and

-1

一个介于

-10

与

-6

之间的增根

an extraneous root between

-10

and

-6

一个介于

20

与

25

之间的真根

a true root between

20

and

25

两个真根

two true roots

两个增根

two extraneous roots

答案：B

知识点：radical equation extraneous root domain

难度评级：1590

小提示：

在消去根式之前，先乘以

\sqrt{x+10}

Multiply by

\sqrt{x+10}

before eliminating the radical

大提示：

解出所得二次方程后，将两个候选值都代回原方程

After solving the resulting quadratic, substitute both candidates into the original equation

解答：

两边乘以

\sqrt{x+10}

，得到

x+4=5\sqrt{x+10}\text{。}

两边平方后得到

\begin{gathered} x^2-17x-234\\ =(x-26)(x+9)\\ =0 \end{gathered}\text{。}

x=26

满足原方程，而

x=-9

会使原方程左边等于

1-6=-5

，而非

5

。因此，介于

-10

与

-6

之间的

-9

是增根。

正确答案是 B。

Multiplying by

\sqrt{x+10}

gives

x+4=5\sqrt{x+10}.

Squaring produces

\begin{gathered} x^2-17x-234\\ =(x-26)(x+9)\\ =0. \end{gathered}

The value

x=26

satisfies the original equation, while

x=-9

makes its left side

1-6=-5,

not

5.

Thus

-9,

which lies between

-10

and

-6,

is extraneous.

The correct answer is B.

1953 AMC 12 第 23 题

答案：B

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

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