2025 AMC 12B Problema 22

Question

¿Cuál es la mayor área posible del triángulo del plano complejo cuyos vértices son

2z,

(1+i)z

y

(1-i)z,

donde el número complejo

z

satisface

|4z - 2| = 1

?

What is the greatest possible area of the triangle in the complex plane with vertices

2z,

(1+i)z,

and

(1-i)z,

where

z

is a complex number satisfying

|4z - 2| = 1?

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{9}{16}

\dfrac{3}{4}

1

Respuesta: C

Conceptos:número complejo área del triángulo optimización

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Estos vértices se obtienen multiplicando los puntos fijos

2, 1+i, 1-i,

todos por

z

, así que el triángulo se escala por el factor

|z|

.

The vertices are

z

times the fixed points

2, 1+i, 1-i,

so the triangle is that fixed triangle scaled by

|z|

Pista grande:

El área es igual al área del triángulo fijo por

|z|^2

; la condición

|4z - 2| = 1

representa una circunferencia, así que hay que maximizar

|z|

sobre ella.

Its area is

|z|^2

times a fixed area; the condition

|4z - 2| = 1

is a circle, so maximize

|z|

on it

Solución:

Los vértices son

z \cdot 2,

z(1+i),

z(1-i),

así que el triángulo es el triángulo fijo de vértices

2, 1+i, 1-i

, cuya área es

1

, escalado por el factor

|z|,

de modo que su área es

|z|^2.

La condición

|4z - 2| = 1

equivale a

\left|z - \tfrac{1}{2}\right| = \tfrac{1}{4},

así que

|z|

es como máximo

\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}.

La mayor área es

\left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = \tfrac{9}{16}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The vertices are

z \cdot 2,

z(1+i),

and

z(1-i),

so the triangle is the fixed triangle with vertices

2, 1+i, 1-i

— which has area

1

— scaled by

|z|,

giving area

|z|^2.

The condition

|4z - 2| = 1

is the circle

\left|z - \tfrac{1}{2}\right| = \tfrac{1}{4},

on which

|z|

is at most

\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}.

So the greatest area is

\left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = \tfrac{9}{16}.

Thus, the correct answer is C.