2025 AMC 12B Problema 10

Question

La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo

30\text{-}60\text{-}90

queda dividida en dos segmentos de longitudes

x \lt y

por la mediana al lado más corto del triángulo. ¿Cuál es la razón

\dfrac{x}{x+y}

?

The altitude to the hypotenuse of a

30\text{-}60\text{-}90

right triangle is divided into two segments of lengths

x \lt y

by the median to the shortest side of the triangle. What is the ratio

\dfrac{x}{x+y}?

\dfrac{3}{7}

\dfrac{\sqrt{3}}{4}

\dfrac{4}{9}

\dfrac{5}{11}

\dfrac{4\sqrt{3}}{15}

Respuesta: A

Conceptos:triángulo rectángulo especial geometría analítica mediana (geometría)

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Coloca el ángulo recto en el origen con los catetos sobre los ejes y asigna coordenadas a cada punto.

Place the right angle at the origin with the legs along the axes and coordinatize every point

Pista grande:

Halla dónde la mediana al lado más corto corta la altura sobre la hipotenusa y luego divide la altura en ese punto.

Find where the median to the shortest side crosses the altitude to the hypotenuse, then split the altitude at that point

Solución:

Toma

C = (0,0),

A = (\sqrt{3}, 0),

B = (0, 1),

de modo que

AB

es la hipotenusa y

BC

es el lado más corto. La altura desde

C

corta a

AB

en

H = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{4}, \tfrac{3}{4}\right).

La mediana desde

A

hasta el punto medio del lado más corto

M = \left(0, \tfrac{1}{2}\right)

cruza la altura en

P = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{7}, \tfrac{3}{7}\right).

Esto divide la altura en

CP = \tfrac{2\sqrt{3}}{7} = \tfrac{4\sqrt{3}}{14}

,

PH = \tfrac{3\sqrt{3}}{14},

así que

x = \tfrac{3\sqrt{3}}{14}

,

\dfrac{x}{x+y} = \dfrac{3}{7}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Take

C = (0,0),

A = (\sqrt{3}, 0),

B = (0, 1),

so

AB

is the hypotenuse and

BC

is the shortest side. The altitude from

C

meets

AB

at

H = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{4}, \tfrac{3}{4}\right).

The median from

A

to

M = \left(0, \tfrac{1}{2}\right)

crosses the altitude at

P = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{7}, \tfrac{3}{7}\right).

This splits the altitude into

CP = \tfrac{2\sqrt{3}}{7} = \tfrac{4\sqrt{3}}{14}

and

PH = \tfrac{3\sqrt{3}}{14},

so

x = \tfrac{3\sqrt{3}}{14}

and

\dfrac{x}{x+y} = \dfrac{3}{7}.

Thus, the correct answer is A.