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2025 AMC 12A Problema 8

Intenta el Problema 8 del 2025 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2025 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

8.

El pentágono ABCDEABCDE está inscrito en un círculo, y ∠BEC=∠CED=30∘.\angle BEC = \angle CED = 30^\circ. Sean ACAC y BDBD que se cortan en el punto F,F, y supongamos que AB=9AB = 9 y AD=24.AD = 24. ¿Cuánto vale BFBF?
Pentagon ABCDEABCDE is inscribed in a circle, and ∠BEC=∠CED=30∘.\angle BEC = \angle CED = 30^\circ. Let ACAC and BDBD intersect at point F,F, and suppose that AB=9AB = 9 and AD=24.AD = 24. What is BF?BF?
5711\dfrac{57}{11}
5911\dfrac{59}{11}
6011\dfrac{60}{11}
6111\dfrac{61}{11}
6311\dfrac{63}{11}
Respuesta: E
Conceptos:ángulo inscritoteorema de la bisectrizley de los cosenos
Nivel de dificultad: 1440
Pista pequeña:
∠BAC\angle BAC y ∠CAD\angle CAD subtienden ambos arcos de 30∘30^\circ, así que ACAC biseca ∠BAD\angle BAD
∠BAC\angle BAC and ∠CAD\angle CAD both subtend 30∘30^\circ arcs, so ACAC bisects ∠BAD\angle BAD
Pista grande:
Halla BDBD con la ley de cosenos en △ABD,\triangle ABD, luego usa el teorema de la bisectriz del ángulo
Find BDBD with the Law of Cosines in △ABD,\triangle ABD, then use the Angle Bisector Theorem
Solución:
El ángulo inscrito ∠BEC=30∘\angle BEC = 30^\circ subtiende el arco BC=60∘,BC = 60^\circ, así que ∠BAC,\angle BAC, que también subtiende el arco BC,BC, es igual a 30∘.30^\circ. De igual modo ∠CAD=30∘.\angle CAD = 30^\circ.
Por lo tanto ACAC biseca ∠BAD=60∘.\angle BAD = 60^\circ. En △ABD,\triangle ABD, BD2=92+242−2(9)(24)cos⁡60∘=657−216=441, \begin{aligned} BD^2 &= 9^2 + 24^2 \\ &\quad {}- 2(9)(24)\cos 60^\circ \\ &= 657 - 216 = 441, \end{aligned} así que BD=21.BD = 21.
Como AFAF (a lo largo de ACAC) biseca ∠BAD,\angle BAD, el teorema de la bisectriz del ángulo da BFFD=ABAD=924=38.\dfrac{BF}{FD} = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}. Por lo tanto BF=311⋅21=6311.BF = \dfrac{3}{11}\cdot 21 = \dfrac{63}{11}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The inscribed angle ∠BEC=30∘\angle BEC = 30^\circ subtends arc BC=60∘,BC = 60^\circ, so ∠BAC,\angle BAC, which also subtends arc BC,BC, equals 30∘.30^\circ. Likewise ∠CAD=30∘.\angle CAD = 30^\circ.
Thus ACAC bisects ∠BAD=60∘.\angle BAD = 60^\circ. In △ABD,\triangle ABD, BD2=92+242−2(9)(24)cos⁡60∘=657−216=441, \begin{aligned} BD^2 &= 9^2 + 24^2 \\ &\quad {}- 2(9)(24)\cos 60^\circ \\ &= 657 - 216 = 441, \end{aligned} so BD=21.BD = 21.
Since AFAF (along ACAC) bisects ∠BAD,\angle BAD, the Angle Bisector Theorem gives BFFD=ABAD=924=38.\dfrac{BF}{FD} = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}. Hence BF=311⋅21=6311.BF = \dfrac{3}{11}\cdot 21 = \dfrac{63}{11}.
Thus, the correct answer is E.

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