2025 AMC 12A Problema 7

Question

En cierto mundo alienígena, la velocidad máxima de carrera

v

de un organismo depende de su número de dedos

n

y su número de ojos

m.

La relación puede expresarse como

v = k n^a m^b

centímetros por hora, donde

k,

a,

y

b

son constantes enteras. En una población donde todos los organismos tienen

5

dedos,

\log v = 4 + 2\log m;

y en una población donde todos los organismos tienen

25

ojos,

\log v = 4 + 4\log n,

donde los logaritmos son en base

10.

¿Cuánto vale

k + a + b

?

In a certain alien world, the maximum running speed

v

of an organism is dependent on its number of toes

n

and number of eyes

m.

The relationship can be expressed as

v = k n^a m^b

centimeters per hour, where

k,

a,

and

b

are integer constants. In a population where all organisms have

5

toes,

\log v = 4 + 2\log m;

and in a population where all organisms have

25

eyes,

\log v = 4 + 4\log n,

where the logarithms are base

10.

What is

k + a + b?

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Respuesta: C

Conceptos:logaritmo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Toma logaritmos:

\log v = \log k + a\log n + b\log m

Take logs:

\log v = \log k + a\log n + b\log m

Pista grande:

Poniendo

n = 5

se obtiene

b = 2

y

\log k + a\log 5 = 4

; poniendo

m = 25

se obtiene

a = 4

Setting

n = 5

gives

b = 2

and

\log k + a\log 5 = 4

; setting

m = 25

gives

a = 4

Solución:

Tomando logaritmos,

\log v = \log k + a\log n + b\log m.

Con

n = 5,

esto se lee

\log v = (\log k + a\log 5)

+ b\log m,

que coincide con

4 + 2\log m,

así que

b = 2

y

\log k + a\log 5 = 4.

Con

m = 25,

se lee

\log v = (\log k + b\log 25)

+ a\log n,

que coincide con

4 + 4\log n,

así que

a = 4

y

\log k + 2\log 25 = 4.

Entonces

\log k = 4 - \log 625

= \log\dfrac{10000}{625}

= \log 16,

así que

k = 16.

Por lo tanto

k + a + b = 16 + 4 + 2 = 22.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Taking logarithms,

\log v = \log k + a\log n + b\log m.

With

n = 5,

this reads

\log v = (\log k + a\log 5)

+ b\log m,

matching

4 + 2\log m,

so

b = 2

and

\log k + a\log 5 = 4.

With

m = 25,

it reads

\log v = (\log k + b\log 25)

+ a\log n,

matching

4 + 4\log n,

so

a = 4

and

\log k + 2\log 25 = 4.

Then

\log k = 4 - \log 625

= \log\dfrac{10000}{625}

= \log 16,

so

k = 16.

Hence

k + a + b = 16 + 4 + 2 = 22.

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A Problema 7

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años