2025 AMC 12A Problema 10

Question

En la figura mostrada abajo, el arco mayor

AD

y el arco menor

BC

tienen el mismo centro,

O.

Además,

A

está entre

O

y

B,

y

D

está entre

O

y

C.

El arco mayor

AD,

el arco menor

BC,

y cada uno de los dos segmentos

AB

y

CD

tienen longitud

2\pi.

¿Cuál es la distancia de

O

a

A

?

In the figure shown below, major arc

AD

and minor arc

BC

have the same center,

O.

Also,

A

lies between

O

and

B,

and

D

lies between

O

and

C.

Major arc

AD,

minor arc

BC,

and each of the two segments

AB

and

CD

have length

2\pi.

What is the distance from

O

to

A?

1

1 - \pi + \sqrt{1 + \pi^2}

\dfrac{1}{2}\pi

\dfrac{1}{2}\sqrt{1 + \pi^2}

2

Respuesta: B

Conceptos:arco cuadrática

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Sean

OA = R_1,

OB = R_2,

y

\angle AOD = \alpha

; los arcos dan

R_2\alpha = 2\pi

y

R_1(2\pi - \alpha) = 2\pi

Let

OA = R_1,

OB = R_2,

and

\angle AOD = \alpha

; the arcs give

R_2\alpha = 2\pi

and

R_1(2\pi - \alpha) = 2\pi

Pista grande:

Los segmentos dan

R_2 - R_1 = 2\pi

; al eliminar los radios resulta

\alpha^2 - 2(1+\pi)\alpha + 2\pi = 0

The segments give

R_2 - R_1 = 2\pi

; eliminating the radii yields

\alpha^2 - 2(1+\pi)\alpha + 2\pi = 0

Solución:

Sean

R_1 = OA = OD

y

R_2 = OB = OC,

y sea

\alpha = \angle AOD = \angle BOC

(los rayos coinciden). El arco menor

BC

tiene longitud

R_2\alpha = 2\pi,

y el arco mayor

AD

es el arco reflejo, así que

R_1(2\pi - \alpha) = 2\pi.

Cada segmento

AB = CD = R_2 - R_1 = 2\pi.

De las dos primeras ecuaciones,

R_2 = \dfrac{2\pi}{\alpha}

y

R_1 = \dfrac{2\pi}{2\pi - \alpha}.

Sustituyendo en

R_2 - R_1 = 2\pi

y dividiendo entre

2\pi

se obtiene

\frac{1}{\alpha} - \frac{1}{2\pi - \alpha} = 1,

que se simplifica a

\alpha^2 - 2(1+\pi)\alpha + 2\pi = 0.

La raíz mayor es mayor que

2\pi,

así que no puede ser un ángulo de este arco menor. Por lo tanto

\alpha = (1+\pi) - \sqrt{1+\pi^2}.

Entonces

\begin{aligned} R_1 &= \frac{2\pi}{2\pi - \alpha} \\ &= \frac{2\pi}{\pi - 1 + \sqrt{1+\pi^2}} \\ &= 1 - \pi + \sqrt{1+\pi^2}, \end{aligned}

tras racionalizar (el denominador multiplicado por

\sqrt{1+\pi^2} - (\pi-1)

es igual a

2\pi

).

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

R_1 = OA = OD

and

R_2 = OB = OC,

and let

\alpha = \angle AOD = \angle BOC

(the rays coincide). The minor arc

BC

has length

R_2\alpha = 2\pi,

and the major arc

AD

is the reflex arc, so

R_1(2\pi - \alpha) = 2\pi.

Each segment

AB = CD = R_2 - R_1 = 2\pi.

From the first two equations,

R_2 = \dfrac{2\pi}{\alpha}

and

R_1 = \dfrac{2\pi}{2\pi - \alpha}.

Substituting into

R_2 - R_1 = 2\pi

and dividing by

2\pi

gives

\frac{1}{\alpha} - \frac{1}{2\pi - \alpha} = 1,

which simplifies to

\alpha^2 - 2(1+\pi)\alpha + 2\pi = 0.

The larger root is greater than

2\pi,

so it cannot be an angle of this minor arc. Thus

\alpha = (1+\pi) - \sqrt{1+\pi^2}.

Then

\begin{aligned} R_1 &= \frac{2\pi}{2\pi - \alpha} \\ &= \frac{2\pi}{\pi - 1 + \sqrt{1+\pi^2}} \\ &= 1 - \pi + \sqrt{1+\pi^2}, \end{aligned}

after rationalizing (the denominator times

\sqrt{1+\pi^2} - (\pi-1)

equals

2\pi

).

Thus, the correct answer is B.