2024 AMC 12B Problema 8

Question

¿Qué valor de

x

satisface

\frac{\log_2 x \cdot \log_3 x}{\log_2 x + \log_3 x} = 2?

What value of

x

satisfies

\frac{\log_2 x \cdot \log_3 x}{\log_2 x + \log_3 x} = 2?

25

32

36

42

48

Conceptos:logaritmo

Divide el numerador y el denominador entre

\log_2 x \cdot \log_3 x

para convertir el lado izquierdo en

\dfrac{1}{\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x}}

.

Divide numerator and denominator by

\log_2 x \cdot \log_3 x

to turn the left side into

\dfrac{1}{\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x}}

Como

\dfrac{1}{\log_2 x} = \log_x 2

y

\dfrac{1}{\log_3 x} = \log_x 3,

la ecuación se convierte en

\log_x 6 = \dfrac12

.

Since

\dfrac{1}{\log_2 x} = \log_x 2

and

\dfrac{1}{\log_3 x} = \log_x 3,

the equation becomes

\log_x 6 = \dfrac12

Dividiendo numerador y denominador entre

\log_2 x \cdot \log_3 x,

el lado izquierdo se convierte en

\begin{gathered} \frac{1}{\dfrac{1}{\log_2 x} + \dfrac{1}{\log_3 x}} \\ = \frac{1}{\log_x 2 + \log_x 3} \\ = \frac{1}{\log_x 6}. \end{gathered}

Así

\dfrac{1}{\log_x 6} = 2,

lo que significa

\log_x 6 = \dfrac12,

es decir

x^{\frac{1}{2}} = 6.

Por lo tanto

x = 36.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Dividing top and bottom by

\log_2 x \cdot \log_3 x,

the left side becomes

\begin{gathered} \frac{1}{\dfrac{1}{\log_2 x} + \dfrac{1}{\log_3 x}} \\ = \frac{1}{\log_x 2 + \log_x 3} \\ = \frac{1}{\log_x 6}. \end{gathered}

So

\dfrac{1}{\log_x 6} = 2,

meaning

\log_x 6 = \dfrac12,

i.e.

x^{\frac{1}{2}} = 6.

Therefore

x = 36.

Thus, the correct answer is C.

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