Question

Una lista de $9$ números reales consta de $1,$ $2.2,$ $3.2,$ $5.2,$ $6.2,$ $7,$ además de $x, y, z$ con $x \le y \le z.$ El rango de la lista es $7,$ y la media y la mediana son ambas enteros positivos. ¿Cuántas ternas ordenadas $(x, y, z)$ son posibles?

A list of $9$ real numbers consists of $1,$ $2.2,$ $3.2,$ $5.2,$ $6.2,$ and $7,$ as well as $x, y, z$ with $x \le y \le z.$ The range of the list is $7,$ and the mean and median are both positive integers. How many ordered triples $(x, y, z)$ are possible?

$1$

$2$

$3$

$4$

infinitas

infinitely many

Respuesta: C

Conceptos:media mediana (datos)rango análisis por casos

Nivel de dificultad: 1600

Solución:

Los seis números fijos suman $24.8$ y abarcan el intervalo $[1,7].$ Hay tres posibles disposiciones de los extremos totales.

Si los extremos son $0$ y $7,$ entonces $x=0$ y $z\le7.$ Las únicas medias enteras posibles son $3$ y $4,$ lo que exige $y+z=2.2$ o $11.2.$ La primera da mediana $2.2.$ En la segunda, una mediana entera obliga a que $y=5,$ y por tanto $z=6.2.$ Esto da $(0,5,6.2).$

Si los extremos son $1$ y $8,$ entonces $z=8$ , y una media entera exige $x+y=3.2$ o $12.2.$ La primera da mediana $3.2;$ la segunda tiene mediana entera solo para $x=6,\ y=6.2.$ Esto da $(6,6.2,8).$

Finalmente, si ambos extremos son nuevos, escribimos $x=t,\ z=t+7$ con $0\lt t\lt1.$ La media debe ser $4,$ así que $y=4.2-2t.$ La mediana es el cuarto número entre $1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y;$ solo es entera cuando $y=4,$ lo que da $t=0.1.$ Así, la tercera terna es $(0.1,4,7.1),$ y hay exactamente $3$ en total.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

The six fixed numbers sum to $24.8$ and span $[1,7].$ There are three possible arrangements of the overall extremes.

If the extremes are $0$ and $7,$ then $x=0$ and $z\le7.$ The only possible integer means are $3$ and $4,$ requiring $y+z=2.2$ or $11.2.$ The first makes the median $2.2.$ In the second, an integer median forces $y=5,$ hence $z=6.2.$ This gives $(0,5,6.2).$

If the extremes are $1$ and $8,$ then $z=8$ and the integer mean forces $x+y=3.2$ or $12.2.$ The first makes the median $3.2;$ the second has an integer median only for $x=6,\ y=6.2.$ This gives $(6,6.2,8).$

Finally, if both extremes are new, write $x=t,\ z=t+7$ with $0\lt t\lt1.$ The mean must be $4,$ so $y=4.2-2t.$ The median is the fourth number among $1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y;$ it is an integer only when $y=4,$ giving $t=0.1.$ Thus the third triple is $(0.1,4,7.1),$ and there are exactly $3$ in all.

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B Problema 10

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1600

Solución:

El Problema 10 en otros años